Out(Fn)

Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è Out(F_n).

In matematica, Out(F_n) è il gruppo degli automorfismi esterni di un gruppo libero su n generatori. Questi gruppi svolgono un ruolo importante nella teoria geometrica dei gruppi.

Out(F_n) agisce geometricamente su un complesso di celle noto come spazio esterno di Culler-Vogtmann, che può essere definito come lo spazio di Teichmüller per una rosa.

Un punto dello spazio esterno è essenzialmente un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-grafo ${\displaystyle X}$omotopicamente equivalente ad una rosa di n cerchi unitamente ad una classe scelta libera, omotopicamente equivalente da ${\displaystyle X}$ alla rosa di n cerchi. Un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-grafo è solo un grafo ponderato con pesi in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. La somma di tutti i pesi dovrebbe essere 1 e tutti i pesi dovrebbero essere positivi. Per evitare ambiguità (e per ottenere uno spazio di dimensione finita) è inoltre richiesto che la valenza di ciascun vertice sia almeno 3.

Una definizione più descrittiva che evita l'equivalenza dell'omotopia ${\displaystyle f}$ è la seguente.

Possiamo fissare un'identificazione del gruppo fondamentale di una rosa di n cerchi con il gruppo libero ${\displaystyle F_{n}}$ in ${\displaystyle n}$ variabili. Inoltre, possiamo scegliere un albero massimale in ${\displaystyle X}$ e una direzione per ogni arco rimanente. Assegneremo ora a ciascun bordo rimanente ${\displaystyle e}$ una stringa in ${\displaystyle F_{n}}$ nel seguente modo. Consideriamo il cammino chiuso che inizia con ${\displaystyle e}$ e poi ritorna all'origine di ${\displaystyle e}$ nell'albero massimale. Componendo questo cammino con ${\displaystyle f}$ otteniamo un cammino chiuso in una rosa di n cerchi e quindi un elemento del suo gruppo fondamentale ${\displaystyle F_{n}}$. Questo elemento non è ben definito; se sostituiamo ${\displaystyle f}$ con un'omotopia libera otteniamo un altro elemento. Si scopre che questi due elementi sono coniugati tra loro, e quindi possiamo scegliere l'unico elemento ciclicamente ridotto in questa classe di coniugio. Da questi dati è possibile ricostruire il tipo di omotopia libera di ${\displaystyle f}$. Questa versione ha il vantaggio di evitare la scelta extra di ${\displaystyle f}$ e ha lo svantaggio di creare ulteriore ambiguità, perché bisogna scegliere un albero massimale e un orientamento degli archi rimanenti.

L'operazione di Out(F_n) sullo spazio esterno è definita come segue. Ogni automorfismo ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle F_{n}}$ induce un'equivalenza automotopica ${\displaystyle g'}$ della rosa di n cerchi. Comporre ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g'}$ dà l'azione desiderata. E nell'altro modello si tratta semplicemente dell'applicazione di ${\displaystyle g}$ e della riduzione ciclica della parola risultante.

Ciascun punto nello spazio esterno determina un'unica funzione di lunghezza ${\displaystyle l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R} }$. Una parola in ${\displaystyle F_{n}}$ determina tramite l'equivalenza di omotopia scelta un cammino chiuso in ${\displaystyle X}$. La lunghezza della parola è quindi la lunghezza minima di un cammino nella classe di omotopia libera di quel cammino chiuso. Tale funzione di lunghezza è costante su ciascuna classe di coniugio.

L'assegnazione ${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$ definisce un inserimento dello spazio esterno in uno spazio proiettivo di dimensione infinita.

Nel secondo modello tutti questi hanno un simplesso aperto, dato da tutti quei ${\displaystyle \mathbb {R} }$-grafi che hanno contemporaneamente lo stesso grafo sottostante e gli stessi spigoli sono rappresentati con le stesse parole (solo la lunghezza dei collegamenti/spigoli può differire). Il complesso simpliciale di tale simplesso è costituito da tutti i grafi che derivano da questo grafo collassando uno spigolo. Se quello spigolo è un anello non può essere collassato senza cambiare il tipo di omotopia del grafo, per cui non esiste un simplesso al confine. Quindi si può equiparare lo spazio esterno ad un complesso simpliciale con alcuni simplessi rimossi. È facile verificare che l'azione di ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ è semplice e ha gruppi isotropi finiti.

La mappa dell’abelianizzazione ${\displaystyle F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}}$ induce un omomorfismo da ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ al gruppo lineare generale ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )}$, quest'ultimo essendo il gruppo degli automorfismi di ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$. Questa mappa diventa, creando ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ un'estensione di gruppo,

${\displaystyle 1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1}$ .

Il nucleo ${\displaystyle \mathrm {Tor} (F_{n})}$ è il gruppo Torelli di ${\displaystyle F_{n}}$.

Nel caso ${\displaystyle n=2}$, la mappa ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ è un isomorfismo.

Siccome ${\displaystyle F_{n}}$ è il gruppo fondamentale di una rosa di n cerchi, ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ può essere descritto topologicamente come il mapping class group di una rosa di n cerchi (nella categoria dell'omotopia), in analogia al mapping class group di una superficie chiusa che è isomorfa al gruppo di automorfismo esterno del gruppo fondamentale di quella superficie.

• (EN) Marc Culler e Karen Vogtmann, Moduli of graphs and automorphisms of free groups, in Inventiones Mathematicae, vol. 84, n. 1, 1986-02, pp. 91–119, DOI:10.1007/BF01388734. URL consultato il 2 marzo 2024.
• (EN) Karen Vogtmann, Automorphisms of Free Groups and Outer Space, in Geometriae Dedicata, vol. 94, n. 1, 2002, pp. 1–31, DOI:10.1023/A:1020973910646. URL consultato il 2 marzo 2024.
• (EN) Karen Vogtmann, Outer Space? (PDF), vol. 55, 2008, MR 2436509.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica