In matematica e in particolare in algebra astratta, un primo associato di un modulo ${\displaystyle M}$ su un anello ${\displaystyle R}$ è un ideale primo di ${\displaystyle R}$ che è un annichilatore di un sottomodulo (primo) di ${\displaystyle M.}$ L'insieme dei primi associati di ${\displaystyle M}$ è solitamente indicato con ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$

In algebra commutativa, i primi associati sono legati alla decomposizione primaria di Lasker-Noether di ideali in anelli noetheriani commutativi. Nello specifico, data la decomposizione di un ideale ${\displaystyle J}$ come intersezione finita di ideali primari, i radicali di questi ideali primari sono ideali primi e questo insieme di ideali primi coincide con ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$

Correlati al concetto di "primo associato" ci sono i concetti di primo isolato e primo immerso.

Un ${\displaystyle R}$-modulo non nullo ${\displaystyle N}$ è detto modulo primo se ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')}$ per ogni sottomodulo non nullo ${\displaystyle N'}$ di ${\displaystyle N.}$ Per un modulo primo ${\displaystyle N,}$ l'annichilatore ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)}$ è un ideale primo di ${\displaystyle R.}$

Un primo associato di un ${\displaystyle R}$-modulo ${\displaystyle M}$ è un ideale della forma ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)}$ per qualche sottomodulo primo ${\displaystyle N}$ di ${\displaystyle M.}$ In algebra commutativa la definizione usuale è differente ma equivalente: se ${\displaystyle R}$ è commutativo, un primo associato ${\displaystyle P}$ di ${\displaystyle M}$ è un ideale primo della forma ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(m)}$ per qualche elemento non nullo ${\displaystyle m}$ di ${\displaystyle M}$ o, equivalentemente, ${\displaystyle R/P}$ è isomorfo a un sottomodulo di ${\displaystyle M.}$

In un anello commutativo ${\displaystyle R,}$ gli elementi minimali di ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$ (rispetto alla relazione d'inclusione di insiemi) sono detti primi isolati e gli altri primi associati (cioè quelli che contengono propriamente un primo associato) sono detti primi immersi.

Un sottomodulo ${\displaystyle N}$ di ${\displaystyle M}$ è detto primario se per ogni ${\displaystyle r\in R}$ e ${\displaystyle m\in M}$ si ha che ${\displaystyle m\notin N}$ e ${\displaystyle rm\in N}$ implicano ${\displaystyle r^{n}M\subset N}$ per qualche intero positivo ${\displaystyle n.}$ Un modulo ${\displaystyle M}$ è detto coprimario se il sottomodulo ${\displaystyle 0}$ è primario, cioè se per qualche elemento non nullo ${\displaystyle m\in M}$ si ha che ${\displaystyle rm=0}$ implica ${\displaystyle r^{n}M=0}$ per qualche intero positivo ${\displaystyle n.}$

Un modulo non nullo ${\displaystyle M}$ finitamente generato su un anello noetheriano commutativo è coprimario se e solo se ha un unico primo associato ${\displaystyle P.}$

Un sottomodulo ${\displaystyle N}$ di ${\displaystyle M}$ è detto ${\displaystyle P}$-primario se ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M/N)=\{P\}.}$ Un ideale ${\displaystyle I}$ è un ideale ${\displaystyle P}$-primario se e solo se ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}.}$ Quindi questa nozione è una generalizzazione di quella di ideale primario.

• Se ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w],}$ gli ideali primi associati di ${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$ sono gli ideali ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$ e ${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3}).}$
• Se ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ allora i gruppi abeliani liberi non banali e i gruppi abeliani non banali di ordine una potenza di un primo sono coprimari.

• (EN) Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1970.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960.
• (EN) Tsit-Yuen Lam, Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294.
• (FR) Bourbaki, Algèbre commutative, 1961.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
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