In matematica, il gruppo ortogonale di grado ${\displaystyle n}$ su un campo ${\displaystyle K}$ è il gruppo delle matrici ortogonali ${\displaystyle n\times n}$ a valori in ${\displaystyle K}$. Si indica con ${\displaystyle \mathrm {O} (n,K)}$ o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$.

Quando ${\displaystyle K}$ è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione ${\displaystyle n.}$ Le matrici aventi determinante uguale a ${\displaystyle +1}$ formano un sottogruppo, che si indica con ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

${\displaystyle \{Q\in \mathrm {GL} (n,K)\ |\ Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}.}$

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali^[1].

Quando il campo ${\displaystyle K}$ non è menzionato, si sottintende che ${\displaystyle K}$ è il campo dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$. In questa voce, parleremo soltanto del caso ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$.

Una matrice ortogonale ha determinante ${\displaystyle +1}$ oppure ${\displaystyle -1.}$ Il sottoinsieme di ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ formato da tutte le matrici con determinante ${\displaystyle +1}$ è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$. Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione ${\displaystyle n-1.}$ Il sottogruppo ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

Il gruppo ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è ${\displaystyle \mathrm {SO} (n).}$

• Per ${\displaystyle n=1}$, il gruppo ${\displaystyle \mathrm {O} (1)}$ consta di due elementi, ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle -1.}$
• Per ${\displaystyle n=2}$, il gruppo ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ è isomorfo al gruppo quoziente ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ dove ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è l'insieme dei numeri reali e ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con ${\displaystyle S^{1}}$, e topologicamente è una circonferenza.
• Per ${\displaystyle n=3}$, il gruppo ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}$

Il gruppo fondamentale di ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ è ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ il gruppo dei numeri interi. Per ogni ${\displaystyle n>2}$ il gruppo fondamentale di ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ è invece ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$, e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ è chiamato gruppo Spin.

• (EN) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 88-339-5548-6.

• Matrice ortogonale
• Trasformazione ortogonale
• Rotazione (matematica)

• (EN) Eric W. Weisstein, Orthogonal Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Orthogonal group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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