In matematica, un'algebra di Lie, da Sophus Lie, è un'algebra su campo il cui prodotto soddisfa delle proprietà aggiuntive. Le algebre di Lie sono strutture algebriche usate principalmente per lo studio di oggetti geometrico-analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili.

Un'algebra di Lie è uno spazio vettoriale ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ su un campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (per esempio i numeri reali, i numeri complessi, o un campo finito) con un operatore binario ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$, detto prodotto di Lie, che soddisfa le seguenti proprietà:

1. è bilineare, cioè ${\displaystyle [\alpha x+\beta y,z]=\alpha [x,z]+\beta [y,z]}$ e ${\displaystyle [z,\alpha x+\beta y]=\alpha [z,x]+\beta [z,y]}$ per ogni ${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {F} }$;
2. soddisfa l'identità di Jacobi, cioè ${\displaystyle [[x,y],z]+[[z,x],y]+[[y,z],x]=0}$ per ogni ${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$;
3. è nilpotente, cioè ${\displaystyle [x,x]=0}$ per ogni ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$.

Notare che la prima e la terza proprietà insieme implicano ${\displaystyle \,\![x,y]=-[y,x]}$ per ogni ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$, cioè l'antisimmetria del prodotto di Lie: viceversa l'antisimmetria implica la proprietà 3 se ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ha caratteristica diversa da 2. Notare anche che in generale il prodotto di Lie non è associativo, cioè ${\displaystyle [[x,y],z]\neq [x,[y,z]]}$.

• Un'algebra di Lie si dice abeliana se il prodotto di Lie fornisce il vettore nullo per tutti gli x e y. Ogni spazio vettoriale diventa banalmente un'algebra di Lie abeliana se lo si arricchisce con un prodotto di Lie identicamente nullo.
• Lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$diventa un'algebra di Lie munendolo del prodotto di Lie fornito dal prodotto esterno (prodotto vettoriale) fra vettori.
• Consideriamo un'algebra associativa A la cui moltiplicazione denotiamo con ${\displaystyle \cdot }$; questa può venire trasformata in un'algebra di Lie definendo ${\displaystyle [x,y]=x\cdot y-y\cdot x}$. Questa espressione è detta il commutatore di x e y. Viceversa si può dimostrare che ogni algebra di Lie può essere considerata come sottoalgebra di un'altra ricavata in questo modo da un'algebra associativa.
• Altri esempi importanti di algebre di Lie vengono dalla topologia differenziale. Consideriamo i campi vettoriali di una varietà differenziabile V, cioè le trasformazioni X che a una funzione f su V associano un'altra funzione dello stesso genere, X f, e che costituiscono uno spazio vettoriale a infinite dimensioni. Per due tali campi vettoriali X e Y il prodotto di Lie [X, Y] è definito da: [X, Y] f = (XY − YX) f per ogni funzione f su V. In tal modo si ottiene l'algebra di Lie del gruppo di Lie ad infinite dimensioni dei diffeomorfismi della varietà.
• Lo spazio vettoriale dei campi vettoriali sinistra-invarianti su un gruppo di Lie è chiuso sotto questa operazione e perciò è un'algebra di Lie a dimensione finita. In alternativa si può pensare lo spazio vettoriale sottostante all'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie come lo spazio tangente all'elemento identità del gruppo. La moltiplicazione è il differenziale del gruppo commutatore (a,b) | → aba⁻¹b⁻¹ all'elemento identità.
• Come esempio concreto consideriamo il gruppo di Lie SL(n,R) di tutte le matrici quadrate n×n con componenti reali e determinante 1. Lo spazio tangente alla matrice identità si può individuare nello spazio di tutte le matrici n×n con traccia zero, e la struttura dell'algebra di Lie derivante dal gruppo di Lie coincide con quella che sorge dai commutatori per la moltiplicazione matriciale.

Per ulteriori esempi sui gruppi di Lie e le algebre di Lie associate, si veda la voce sul gruppo di Lie.

Un omomorfismo φ : g → h fra due algebre di Lie g ed h sullo stesso campo base F si definisce come una mappa F-lineare tale che [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) per tutti gli x e y in g. La composizione di tali omomorfismi è ancora un omomorfismo, e le algebre di Lie sul campo F, insieme con questi morfismi formano una categoria. Se un tale omomorfismo è biiettivo viene chiamato isomorfismo, e le due algebre di Lie g e h sono dette isomorfe.

Una sottoalgebra dell'algebra di Lie g è un sottospazio lineare h di g tale che [x, y] ∈ h per tutti gli x, y ∈ h: una tale sottoalgebra è quindi essa stessa un'algebra di Lie.

Un ideale dell'algebra di Lie g è un sottospazio h di g tale che [a, y] ∈ h per tutti gli a ∈ g e y ∈ h. Gli ideali sono particolari sottoalgebre. Se h è un ideale di g allora lo spazio quoziente g/h diventa un'algebra di Lie definendo [x + h, y + h] = [x, y] + h per tutti gli x, y ∈ g. Gli ideali sono precisamente i kernel degli omomorfismi, e il teorema fondamentale degli omomorfismi vale anche per le algebre di Lie.

Delle algebre di Lie si conosce una classificazione abbastanza soddisfacente e questa fornisce un notevole aiuto alla classificazione dei gruppi di Lie. Ogni algebra di Lie reale o complessa di dimensione finita può ottenersi come algebra di Lie di un gruppo di Lie reale o complesso semplicemente connesso (teorema di Ado^[1]). Possono però trovarsi più gruppi di Lie, anche non semplicemente connessi, che danno origine alla stessa algebra di Lie. Per esempio i gruppi SO(3) (matrici ortogonali 3×3 a elementi reali con determinante 1) e SU(2) (matrici complesse unitarie 2×2 a elementi complessi con determinante 1) danno entrambi origine alla stessa algebra di Lie, precisamente la R³ munita del prodotto esterno.

Una caratterizzazione meno stringente di quella di algebra di Lie abeliana è quella di algebra di Lie nilpotente; g si dice nilpotente se la serie centrale inferiore: g > [g, g] > [[g, g], g] > [[[g, g], g], g] > ... si riduce al vettore zero da un certo punto in poi. Per il teorema di Engel un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se per ogni u in g la mappa

ad(u): g → g

definita da

ad(u)(v) = [u,v]

è nilpotente. Ancora meno stringentemente, un'algebra di Lie g è detta risolubile se i termini della serie derivata: g > [g, g] > [[g, g], [g, g]] > [[[g, g], [g, g]], [[g, g], [g, g]]] > ... si riducono al vettore zero da un certo punto in poi. Una sottoalgebra risolubile massimale è chiamata sottoalgebra di Borel.

Un'algebra di Lie g è detta semisemplice se l'unico ideale risolubile di g è banale. Equivalentemente, g è semisemplice se e solo se la cosiddetta forma di Killing K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)) è non degenere: qui, tr denota l'operatore traccia.

Quando il campo F ha caratteristica zero, g è semisemplice se e solo se ogni sua rappresentazione è completamente riducibile, cioè se e solo se per ogni sottospazio invariante della rappresentazione c'è un complemento invariante (teorema di Peter-Weyl).

Un'algebra di Lie è detta semplice se non è abeliana e non possiede ideali non banali. Le algebra di Lie semplici costituiscono una sottoclasse delle semisemplici, mentre le più generali algebre di Lie semisemplici sono esprimibili come somme dirette di algebre di Lie semplici.

Le algebre di Lie complesse semisemplici sono classificate attraverso i loro sistemi di radici.

• James E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Nathan Jacobson (1962): Lie algebras, Republication Dover Publications, New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Victor G. Kac, et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, [1]
• Robert N. Cahn (1984) Semi-Simple Lie Algebras and their Representations (archiviato dall'url originale il 7 settembre 2010)., Benjamin-Cummings
• Hans Samelson Notes on Lie Algebra (PDF).

• Superalgebra di Lie
• Algebra di Lie graduata

• Lie, algebra di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Lie algebra, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Algebra di Lie, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Algebra di Lie, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica