In algebra astratta, un anello artiniano è un anello in cui ogni successione decrescente di ideali è stazionaria (condizione della catena discendente). Come scoperto da Emil Artin, questa tipologia di anelli riunisce sotto la medesima classificazione due classi di anelli con proprietà simili:
- anelli formati da un numero finito di elementi;
- anelli che sono spazi vettoriali a dimensione finita su un campo.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Per un generico anello, esistono più definizioni di anello artiniano:
- anello artiniano sinistro: anello i cui ideali sinistri soddisfano la condizione della catena discendente;
- anello artiniano destro: anello i cui ideali destri soddisfano la condizione della catena discendente;
- anello artiniano propriamente detto (o artiniano bilatero): anello artiniano destro e sinistro.
Se l'anello è commutativo, le tre definizioni sopra coincidono. Le definizioni coincidono anche per le due classi di anelli citate nell'introduzione.
Un modo equivalente di esprimere la definizione è richiedendo che l'anello sia un modulo artiniano su sé stesso (con le dovute varianti nel caso sinistro e destro).
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]- Il teorema di Artin-Wedderburn caratterizza gli anelli semplici artiniani come anelli di matrici su anelli con divisione; gli anelli artiniani semplici sono inoltre tutti bilateri;
- ogni anello artiniano sinistro (destro) è un anello noetheriano sinistro (destro).
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Charles Hopkins, Rings with minimal condition for left ideals, in The Annals of Mathematics, vol. 40, n. 3, luglio 1939, pp. 712-730, DOI:10.2307/1968951. URL consultato il 29 aprile 2007.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- anello artiniano, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Artinian Ring, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Artinian ring, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
