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In matematica, un polinomio ${\displaystyle p(x)}$ si dice irriducibile quando non esistono dei polinomi ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle s(x)}$ tali che ${\displaystyle q(x)\cdot s(x)=p(x)}$ con ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle s(x)}$ non invertibili. In caso contrario, il polinomio si dice riducibile.

Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio

${\displaystyle p(x)=x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),}$

è riducibile.

Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio ${\displaystyle 2x+6}$ è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$, mentre è riducibile se considerato su ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$, perché la fattorizzazione ${\displaystyle 2x+6=2(x+3)}$ non è banale, in quanto l'inverso di ${\displaystyle 2}$, ovvero ${\displaystyle 1/2}$, non è un numero intero, e quindi ${\displaystyle 2}$ non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.

L'irriducibilità dipende fortemente dalla scelta dell'anello a cui devono appartenere i coefficienti. Ad esempio, il polinomio

${\displaystyle p(x)=x^{2}-2,}$

è irriducibile se tale anello è quello degli interi, mentre è riducibile se l'anello è il campo dei numeri reali, perché qui si spezza in

${\displaystyle p(x)=x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}}).}$

Analogamente, il polinomio

${\displaystyle q(x)=x^{2}+1,}$

è irriducibile sui numeri reali, mentre è riducibile sui numeri complessi, perché si scompone come

${\displaystyle q(x)=(x+i)(x-i).}$

Per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio è irriducibile sul campo dei complessi se e solo se ha grado ${\displaystyle 1}$.

I polinomi irriducibili sul campo dei reali sono precisamente:

• i polinomi di primo grado;
• i polinomi di secondo grado con delta minore di zero.

Quindi ogni polinomio a coefficienti reali è il prodotto di alcuni polinomi di questi due tipi. Questo deriva dal fatto che se un numero complesso ${\displaystyle z}$ è uno zero di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato ${\displaystyle {\overline {z}}}$ è soluzione, e il prodotto dei fattori

${\displaystyle (x-z)(x-{\overline {z}})=x^{2}-(z+{\overline {z}})x+z{\overline {z}},}$

è formato da numeri reali.

Sul campo dei numeri razionali, esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado, ma non esiste nessun criterio generale per determinare se un polinomio sia irriducibile o meno. Esistono tuttavia vari metodi che possono dare o meno risultati; generalmente il primo passo è trasformare il polinomio originario in un polinomio a coefficienti interi, moltiplicandolo per il minimo comune multiplo dei denominatori. L'operazione è lecita grazie al lemma di Gauss, che garantisce che il polinomio originale è irriducibile se e solo se lo è il trasformato (a meno di fattori costanti, che sono irriducibili su ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ma invertibili in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$). Dopo si possono provare varie strade:

• Cercare radici razionali; per il teorema delle radici razionali il loro numeratore deve dividere ${\displaystyle a_{0}}$, mentre il denominatore deve dividere il coefficiente direttore. L'insieme dei valori possibili è così limitato; se uno di questi è una radice, allora il polinomio è sicuramente riducibile.

Se un polinomio non ammette radici razionali, non vuol dire sempre che è irriducibile su ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$: ciò vale se e solo se il grado del polinomio è minore o uguale a tre.

• Tentare di applicare il criterio di Eisenstein.
• Considerare il polinomio in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$, con ${\displaystyle p}$ primo tale che ${\displaystyle p\nmid a_{n}.}$

In particolare vale che se il polinomio è irriducibile in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$ allora lo è anche in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$. Ma non vale il viceversa.

un polinomio multivariato definito sui numeri razionali si definisce assolutamente irriducibile se è irriducibile sul campo complesso.^[1][2][3] Per esempio ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1}$ è assolutamente irriducibile; invece ${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$ pur essendo irriducibile sugli interi e sui reali, è riducibile sui numeri complessi come ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),}$ e quindi non è assolutamente irriducibile.

Più in generale, un polinomio definito su un campo ${\displaystyle K}$ è assolutamente irriducibile se è irriducibile su ogni estensione algebrica di ${\displaystyle K,}$^[4] e un insieme algebrico affine definito da equazioni con coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$ è assolutamente irriducibile se non è l'unione di due insiemi algebrici definiti da equazioni in un'estensione algebricamente chiusa di ${\displaystyle K.}$ In altre parole, un insieme algebrico assolutamente irriducibile è sinonimo di una varietà algebrica, ^[5] che sottolinea che i coefficienti delle equazioni che lo definiscono possono non appartenere a un campo algebricamente chiuso.

Il concetto di irriducibilità assoluta viene applicato, con lo stesso significato, anche alle rappresentazioni lineari di gruppi algebrici.

In tutti i casi, essere assolutamente irriducibili equivale ad essere irriducibili sulla chiusura algebrica del campo base.

• Un polinomio univariato di grado maggiore o uguale a 2 non è mai assolutamente irriducibile, a causa del teorema fondamentale dell'algebra.
• La rappresentazione bidimensionale irriducibile del gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{3}}$ di ordine 6, originariamente definito sul campo dei numeri razionali, è assolutamente irriducibile.
• La rappresentazione del gruppo circolare delle rotazioni nel piano è irriducibile (sul campo dei numeri reali), ma non è assolutamente irriducibile. Dopo aver esteso il campo a numeri complessi, si divide in due componenti irriducibili. Questo è prevedibile, poiché il gruppo circolare è commutativo ed è noto che tutte le rappresentazioni irriducibili di gruppi commutativi su un campo algebricamente chiuso sono unidimensionali.
• La "vera" varietà algebrica definita dall'equazione

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

è assolutamente irriducibile.^[3] È il cerchio ordinario sui reali e rimane una sezione conica irriducibile sul campo dei numeri complessi. L'irriducibilità assoluta vale più generalmente su qualsiasi campo non di caratteristica due. In caratteristica due, l'equazione è equivalente a ${\displaystyle (x+y-1)^{2}=0.}$ Quindi definisce la retta doppia ${\displaystyle x+y=1,}$ che è uno schema non ridotto.

• La varietà algebrica data dall'equazione

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$

non è assolutamente irriducibile. In effetti, il membro sinistro può essere scomposto come

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),}$

dove ${\displaystyle i}$ è una radice quadrata di −1. Pertanto, questa varietà algebrica è costituita da due linee che si intersecano all'origine e non è assolutamente irriducibile. Ciò vale già sul campo base se ${\displaystyle -1}$ è un quadrato, oppure vale sull'estensione quadratica ottenuta mediante l'aggiunta di ${\displaystyle i.}$

• Polinomio irriducibile, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Opere riguardanti Irreducible polynomials, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Irreducible Polynomial, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Irreducible polynomial, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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