Teoria degli anelli

In matematica, e più precisamente in algebra, la teoria degli anelli è lo studio degli anelli, strutture algebriche dotate delle operazioni di somma e prodotto simili ai numeri interi.

Un anello è una struttura algebrica dotata di un sostegno ${\displaystyle A}$ e di due operazioni, chiamate somma e prodotto, che soddisfano le proprietà seguenti:

• ${\displaystyle A}$ è un gruppo abeliano rispetto alla somma, con elemento neutro 0;
• ${\displaystyle A}$ è un monoide rispetto al prodotto, con elemento neutro 1;
• le operazioni di somma e prodotto sono collegate dalla proprietà distributiva.

Informalmente, si chiede che somma e prodotto soddisfino le stesse proprietà valide nei numeri interi, tranne una: non è richiesto infatti che il prodotto sia commutativo (mentre è richiesto che la somma lo sia).

Un anello in cui anche il prodotto è commutativo è un anello commutativo. Oltre ai numeri interi, esempi classici di anelli sono gli spazi di matrici (non commutativo) e soprattutto di polinomi (commutativo). Spesso questi spazi hanno anche una struttura di spazio vettoriale, e vengono quindi chiamati algebre.

Come nelle altre strutture algebriche, un omomorfismo è una funzione fra anelli che preserva le operazioni. Un isomorfismo è un omomorfismo che ammette un inverso.

Alcuni autori non richiedono che sia presente l'elemento neutro 1 per la moltiplicazione nella definizione di anello, e parlano di anello con unità nel caso in cui ci sia.

Un anello è una struttura molto flessibile, che può avere molte proprietà aggiuntive, ad esempio la commutatività del prodotto, e le più importanti fra queste strutture aggiuntive hanno un nome. La struttura più importante è sicuramente quella di campo: un campo è un anello commutativo in cui tutti gli elementi (tranne lo zero) hanno un inverso rispetto al prodotto. Esempi di campi sono gli insiemi dei numeri razionali, reali, complessi. I campi sono alla base della definizione degli spazi vettoriali, e di fondamentale importanza per la teoria di Galois: la disciplina che li studia è la teoria dei campi.

Un ruolo importante nella teoria degli anelli è giocato dagli ideali, che si comportano in modo simile ai sottogruppi normali nella teoria dei gruppi. Un ideale è un sottoinsieme dell'anello chiuso rispetto alla somma e al prodotto per qualsiasi elemento dell'anello (assumiamo qui che l'anello sia commutativo, per semplicità). L'importanza di questa nozione sta nei fatti seguenti:

• il nucleo di un omomorfismo è un ideale;
• se ${\displaystyle I}$ è un ideale di ${\displaystyle A}$, si può fare il quoziente ${\displaystyle A/I}$ che è ancora un anello.

In questo modo è possibile costruire molti anelli a partire da uno dato, quozientando per i suoi ideali. Ad esempio, l'anello

${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

dei polinomi in ${\displaystyle n}$ variabili a coefficienti nel campo ${\displaystyle K}$ contiene molti ideali, e tramite quoziente si costruiscono molte tipologie differenti di anelli. Questi ideali giocano un ruolo da protagonista in geometria algebrica per il fatto seguente:

• ogni ideale di ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ definisce una varietà algebrica in ${\displaystyle K^{n}}$, e viceversa.

Lo studio degli ideali in un anello fissato è quindi di fondamentale importanza. Tra questi, i più rilevanti per la geometria algebrica sono gli ideali primi e gli ideali massimali. Gli ideali principali sono gli ideali generati da un solo elemento.

Nelle definizioni che seguono gli anelli sono sempre supposti commutativi.

Un dominio d'integrità è un anello in cui non esistono divisori dello zero, cioè elementi ${\displaystyle a}$ tali che ${\displaystyle ab=0}$ per qualche altro elemento ${\displaystyle b}$ non nullo. L'anello degli interi non contiene divisori dello zero (tranne lo zero, ovviamente), ma è facile costruire anelli di polinomi che ne contengono.

Un anello a fattorizzazione unica è un anello in cui ogni elemento si fattorizza in modo unico come prodotto di elementi primi, similmente a quanto accade nei numeri interi con il Teorema fondamentale dell'aritmetica.

Un anello a ideali principali è un anello in cui ogni ideale è principale.

Un anello euclideo è un anello in cui è possibile effettuare una sorta di divisione con resto, e quindi l'algoritmo di Euclide per la determinazione del massimo comune divisore.

Le definizioni date sono una contenuta nell'altra; valgono infatti le implicazioni seguenti:

campo ⇒ anello euclideo ⇒ anello a ideali principali ⇒ anello a fattorizzazione unica ⇒ dominio d'integrità ⇒ anello commutativo.

• (EN) Israel Nathan Herstein (1968): Noncommutative Rings, J.Wiley
• (EN) Carl Faith (1973): Algebra: Rings, Modules, and Categories I, Springer
• (EN) Carl Faith, Stanley Page (1884): FPF Ring Theory, Cambridge University Press, ISBN 0521277388
• (EN) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Algebra I. Ch.I Algebraic structures. Ch.II Linear algebra. Ch.III Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras, Springer, ISBN 3-540-64243-9
• (EN) Nicolas Bourbaki (1990): Elements of Mathematics. Algebra II. Ch.IV Polynomials and rational fractions. Ch. V Commutative fields. Ch. VI Ordered groups and fields. Ch. VII Modules over principal ideal domains, Springer, ISBN 3-540-19375-8
• Michael Artin (1997): Algebra, Bollati Boringhieri, ISBN 8833955869
• (EN) Serge Lang (2002): Algebra, 3rd edition, Springer, ISBN 0-387-95385-X. Ch. ?
• (EN) Carl Faith (2005): Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, 2nd ed., AMS, ISBN 0-8218-3672-2

• Teoria dei gruppi
• Teoria dei campi (matematica)
• Storia della teoria degli anelli

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla teoria degli anelli

• anelli, teoria degli, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teoria degli anelli, su MathWorld, Wolfram Research.

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