Sottogruppo caratteristico

In matematica, un sottogruppo caratteristico di un gruppo ${\displaystyle G}$ è un sottogruppo ${\displaystyle H}$ tale che ${\displaystyle \phi (H)=H}$ per ogni automorfismo ${\displaystyle \phi }$ di ${\displaystyle G}$. Esempi di sottogruppi caratteristici sono il sottogruppo banale ${\displaystyle \{e\}}$ formato dal solo elemento neutro di ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle G}$ stesso, il centro e il sottogruppo derivato di ${\displaystyle G}$.

• Il centro di un gruppo ${\displaystyle G}$ è sempre un sottogruppo caratteristico. Infatti, dato un elemento ${\displaystyle g\in Z(G)}$, abbiamo che ${\displaystyle (\forall h\in G)gh=hg}$. Ma allora, dato ${\displaystyle \phi }$ automorfismo, abbiamo che ${\displaystyle \forall h\in G}$:

${\displaystyle \phi (g)h=\phi (g)\phi (\phi ^{-1}(h))=\phi (g\phi ^{-1}(h))=\phi (\phi ^{-1}(h)g)=\phi (\phi ^{-1}(h))\phi (g)=h\phi (g)}$

ovvero ${\displaystyle \phi (g)\in Z(G)}$.

• Il sottogruppo derivato di ${\displaystyle G}$, ovvero il sottogruppo generato dai commutatori, è caratteristico, perché l'immagine di ogni commutatore è ancora un commutatore; più precisamente,

${\displaystyle \phi ([g,h])=[\phi (g),\phi (h)]}$.

• Più in generale, ogni elemento delle: serie centrale discendente, serie centrale ascendente, serie derivata, ${\displaystyle p}$-serie discendente, serie di Jennings è un sottogruppo caratteristico.

• Se ${\displaystyle H}$ è l'unico sottogruppo di ${\displaystyle G}$ di una certa cardinalità ${\displaystyle n}$, allora ${\displaystyle H}$ è caratteristico, perché per ogni automorfismo ${\displaystyle \phi }$ l'immagine ${\displaystyle \phi (H)}$ è ancora un sottogruppo di cardinalità ${\displaystyle n}$. Questa condizione non è necessaria: ad esempio, se ${\displaystyle G=D_{4}=\langle \sigma ,\tau \rangle }$ è il gruppo diedrale con 8 elementi (dove ${\displaystyle \sigma }$ è la rotazione e ${\displaystyle \tau }$ una riflessione), allora ${\displaystyle \langle \sigma ^{2}\rangle }$ è un sottogruppo caratteristico (essendo il centro di ${\displaystyle G}$) che ha ordine 2, mentre ${\displaystyle \langle \tau \rangle }$ è un sottogruppo non caratteristico di ordine 2.

• Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico (perché non ve ne sono altri della stessa cardinalità).

• Sottogruppo di torsione e il sottogruppo di ${\displaystyle p}$-torsione

• Sottogruppo di Frattini

• Ogni sottogruppo caratteristico è normale; questo segue dal fatto che un sottogruppo è normale in ${\displaystyle G}$ se e solo se è fissato da ogni automorfismo interno. Viceversa, un sottogruppo normale può non essere caratteristico: ad esempio, il prodotto diretto ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ è abeliano, per cui tutti i suoi sottogruppi sono normali, ma l'applicazione ${\displaystyle \phi }$, definita da

${\displaystyle \phi ((a,b))=(b,a)}$

è un automorfismo che manda il sottogruppo ${\displaystyle \langle (1,0)\rangle }$ in ${\displaystyle \langle (0,1)\rangle }$, non in sé.

• Siano ${\displaystyle K<H<G}$. Se ${\displaystyle K}$ è caratteristico in ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle H}$ è caratteristico in ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle K}$ lo è anche in ${\displaystyle G}$. Non è però sufficiente una sola delle due ipotesi: né un sottogruppo non caratteristico di un sottogruppo caratteristico, né un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo non caratteristico sono necessariamente caratteristici.

• Antonio Machì, Gruppi, Springer, 2007, ISBN 978-88-470-0622-5.

• (EN) Characteristic subgroup, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica