Gruppo profinito

In matematica, un gruppo profinito è un gruppo topologico che si può costruire con un certo processo di limite a partire da gruppi finiti. Molti teoremi validi per i gruppi finiti, quali i teoremi di Sylow, ammettono generalizzazioni naturali ai gruppi profiniti.

Formalmente, un gruppo profinito si può definire come un gruppo topologico T2, compatto con un sistema di intorni di ${\displaystyle 1}$ fatto di sottogruppi normali.

Si può dimostrare che un gruppo profinito è limite proiettivo della famiglia dei suoi sottogruppi normali. È anche vero, viceversa, che il limite proiettivo di una famiglia di gruppi finiti dotati della topologia discreta è un gruppo profinito. Da quest'ultimo fatto deriva peraltro il nome profinito.

I gruppi profiniti estendono, in un certo senso, delle proprietà dei gruppi finiti. Tra le più importanti, la proprietà di essere gruppo di Galois di un'estensione di campi. Infatti, come i gruppi finiti sono i gruppi di Galois finiti, i gruppi profiniti sono i gruppi di Galois infiniti con la topologia di Krull.

Un classico esempio di gruppo profinito è ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$, il limite proiettivo della famiglia ${\displaystyle \lbrace \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rbrace _{n\in \mathbb {N} }}$ dotata delle mappe ${\displaystyle \rho _{n,m}\colon \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ tali che, se ${\displaystyle n|m}$, ${\displaystyle \rho _{n,m}(a)=[a]_{n}}$ dove le quadre indicano la classe di resto di ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle n}$. Si mostra che ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ è il gruppo di Galois assoluto di ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ campo finito con ${\displaystyle p}$ elementi.

Un'altra classe di esempi è costituita dagli interi p-adici, comunemente indicati con ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

• Michael D. Fried e Moshe Jarden, Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11, 3ª ed., Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77269-9.

• (EN) Opere riguardanti Profinite groups, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Profinite group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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