Lemma di Gauss (polinomi)

Il lemma di Gauss, nella teoria dei polinomi, si riferisce a due affermazioni distinte:

• il prodotto di due polinomi primitivi è primitivo;
• se un polinomio è irriducibile in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$, allora è irriducibile anche in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$; cioè un polinomio a coefficienti interi che è irriducibile negli interi è anche irriducibile nei razionali.

La seconda affermazione è una diretta conseguenza della prima, ed entrambe le affermazioni possono essere estese al caso in cui al posto di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ si considera un dominio a fattorizzazione unica R e al posto di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ si considera il campo delle frazioni F di R.

Questo lemma prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Siano f(x) e g(x) due polinomi primitivi (a coefficienti interi), cioè tali che il massimo comun divisore dei coefficienti di ciascun polinomio è 1. Supponiamo per assurdo che il loro prodotto h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo. Di conseguenza, esisterà un primo p che divide tutti i coefficienti di h(x). Poiché f(x) e g(x) sono primitivi, esisteranno dei loro coefficienti che non sono divisi da p.

L'idea è ora di "costruire" un coefficiente di h(x) che non è diviso da p. Consideriamo quindi a_r e b_s, i due coefficienti di grado minimo che non sono divisi da p, e costruiamo c_r+s, il coefficiente di h(x) di grado r+s. Lo possiamo scrivere come:

${\displaystyle c_{r+s}=a_{r}b_{s}+(a_{r+1}b_{s-1}+a_{r+2}b_{s-2}+\ldots )+(a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\ldots )}$

Il primo addendo non è divisibile per p; tuttavia, le due quantità tra parentesi lo sono, in quanto ognuno tra i b_s-1, b_s-2... lo è, come ognuno tra i a_r-1, a_r-2, eccetera. Quindi si può scrivere

${\displaystyle c_{r+s}=a_{r}b_{s}+ph}$

per un h intero. Ma c_r+s è la somma di una quantità divisibile e una non divisibile, e quindi non può essere divisibile per p, e ciò è assurdo. Quindi h(x) è primitivo, come volevasi dimostrare.

Un'altra dimostrazione può essere data usando l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$ dei polinomi a coefficienti nel campo finito ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Supponiamo per assurdo che h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo. Come nella dimostrazione precedente, esisterà un primo p che divide tutti i suoi coefficienti. Allora nell'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$ risulterà f(x) g(x)=0. Ma essendo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ un campo, è anche un dominio d'integrità (ovvero, non esistono divisori dello zero), e quindi anche l'anello dei suoi polinomi è un dominio d'integrità. Quindi uno tra f(x) e g(x) dovrebbe essere 0 in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$, ovvero tutti i suoi coefficienti dovrebbero essere divisibili per p. Ma avevamo supposto che sia f(x) che g(x) fossero primitivi, e quindi questo è un assurdo, e h(x) è primitivo.

Questo secondo lemma è equivalente a dire che se un polinomio a coefficienti interi si scompone in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$, allora si scompone anche in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.

Se f(x) non è primitivo, allora si ottiene subito una scomposizione non banale in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ e quindi possiamo assumere, senza perdere in generalità, che f(x) sia primitivo. Se si pone f(x)=g(x) h(x), con ${\displaystyle g(x),h(x)\in \mathbb {Q} [x]}$ non costanti, allora esistono ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ tali che ${\displaystyle g'(x)=a\cdot g(x)}$ e ${\displaystyle h'(x)=b\cdot h(x)}$ siano polinomi primitivi di ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Abbiamo dunque:

${\displaystyle f(x)=(a^{-1}\cdot a\cdot g(x))(b^{-1}\cdot b\cdot h(x))=(ab)^{-1}g'(x)h'(x)}$

Per il lemma precedente, il prodotto di g'(x) e h'(x) è primitivo come f(x), e quindi ab deve essere uguale a ${\displaystyle \pm 1}$, e quindi f(x) è riducibile in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.

Un altro modo per dimostrare che un polinomio irriducibile f(x) in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ sia irriducibile anche in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$, è supporre per assurdo che esista una sua ulteriore scomposizione in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ (con ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, in generale, il campo delle frazioni di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ un qualunque UFD (dominio a fattorizzazione unica)).

Supponiamo quindi che esistano ${\displaystyle g(x),h(x)\in \mathbb {Q} [x]}$ non banali tali che ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$, con grado di g(x) e h(x) positivo. Allora esisteranno ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ tali che ${\displaystyle ag(x)=g'(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ e ${\displaystyle bh(x)=h'(x)\in \mathbb {Z} [x]}$. Quindi possiamo scrivere ${\displaystyle abf(x)=g'(x)h'(x)}$.

Sia c un fattore irriducibile di ab in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Poiché ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ è UFD, allora c sarà primo in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Siccome c divide ${\displaystyle g'(x)h'(x)}$ ed è primo, allora c dividerà ${\displaystyle g'(x)}$ oppure ${\displaystyle h'(x)}$.

Senza perdita di generalità, supponiamo che c divida ${\displaystyle g'(x)}$, cioè ${\displaystyle g'(x)=cg'_{1}(x)}$ con ${\displaystyle g'_{1}\in \mathbb {Z} [x]}$. Da ${\displaystyle abf(x)=g'(x)h'(x)}$ concludiamo

${\displaystyle {\frac {ab}{c}}f(x)=g'_{1}(x)h'(x)}$

Procedendo con gli altri fattori irriducibili di ab, dopo un numero finito di passaggi otterremo

${\displaystyle uf(x)=g'_{r}(x)h'_{s}(x)}$ con ${\displaystyle u}$ invertibile

Abbiamo quindi trovato una nuova scomposizione di ${\displaystyle f(x)}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$, assurdo per ipotesi.

• Una conseguenza del primo lemma è che l'MCD del prodotto di due polinomi è il prodotto dei loro MCD.

• Il secondo lemma implica che si può determinare l'irriducibilità di un polinomio tra i razionali studiando un polinomio tra gli interi, dove possono essere applicati strumenti come il criterio di Eisenstein.

• Teorema delle radici razionali

• Gauss, lemma di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Gauss's Lemma, su MathWorld, Wolfram Research.

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