In matematica, il teorema della base di Hilbert è un risultato dell'algebra commutativa, fondamentale nello studio degli anelli noetheriani. Esso afferma che, se ${\displaystyle A}$ è noetheriano, allora l'anello dei polinomi ${\displaystyle A[x]}$ è ancora noetheriano; ricorsivamente, questo dimostra che ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, così come ogni ${\displaystyle A}$-algebra finitamente generata, è un anello noetheriano.

Il teorema è stato dimostrato per la prima volta da David Hilbert nel 1888 nel caso in cui ${\displaystyle A}$ è un campo, e poi generalizzato nella forma attuale da Emmy Noether. Una dimostrazione costruttiva (a differenza di quella di Hilbert) fu data da Paul Gordan nel 1900.^[1]

Il risultato è anche importante in geometria algebrica, in quanto dimostra che ogni insieme algebrico può essere definito da un numero finito di equazioni polinomiali.

Supponiamo per assurdo che ${\displaystyle A[x]}$ non sia noetheriano; allora, esiste un ideale ${\displaystyle I\subseteq A[x]}$ non finitamente generato. Costruiamo una successione ${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n},\ldots }$ di polinomi nel modo seguente:

• ${\displaystyle p_{0}}$ è un elemento di ${\displaystyle I}$ di grado minimo (tra gli elementi di ${\displaystyle I}$);
• ${\displaystyle p_{n}}$ è un elemento di ${\displaystyle I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})}$ di grado minimo tra gli elementi di ${\displaystyle I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})}$.

Sia ${\displaystyle a_{i}}$ il coefficiente direttore di ${\displaystyle p_{i}}$, e sia ${\displaystyle d_{i}}$ il grado di ${\displaystyle p_{i}}$.

Sia ${\displaystyle J}$ l'ideale di ${\displaystyle A}$ generato dagli ${\displaystyle a_{i}}$; poiché ${\displaystyle A}$ è noetheriano, ${\displaystyle J}$ è finitamente generato. In particolare, ${\displaystyle J}$ è generato da ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{N-1}}$ per un certo intero ${\displaystyle N}$.

In particolare, si può scrivere ${\displaystyle a_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i},\ e_{i}\in A}$; consideriamo il polinomio

${\displaystyle q(x):=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}x^{d_{N}-d_{i}}p_{i}(x)}$.

Per definizione, ${\displaystyle q(x)}$ appartiene a ${\displaystyle (p_{0},\ldots ,p_{N-1})}$; inoltre, ${\displaystyle q(x)}$ è un polinomio di grado ${\displaystyle d_{N}}$ il cui coefficiente direttore è ${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i}=a_{N}}$. In particolare, il polinomio

${\displaystyle q(x)-p_{N}(x)}$

è un polinomio di grado ${\displaystyle d_{N}-1}$ che appartiene a ${\displaystyle I}$ (perché vi appartengono sia ${\displaystyle q(x)}$ che ${\displaystyle p_{N}(x)}$) ma non a ${\displaystyle (p_{0},\ldots ,p_{N-1})}$ (perché vi appartiene ${\displaystyle q(x)}$ ma non ${\displaystyle p_{N}(x)}$). Questo tuttavia contrasta con la scelta di ${\displaystyle p_{N}}$ come polinomio di grado minimo in ${\displaystyle I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{N-1})}$: di conseguenza, ${\displaystyle I}$ deve essere un ideale finitamente generato, e ${\displaystyle A[x]}$ è un anello noetheriano.

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

• Hilbert, teorema della base di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Hilbert Basis Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

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