Condizione di Hölder

In matematica, la condizione di Holder è una generalizzazione della condizione di Lipschitz.

Si verificano le seguenti relazioni di inclusione per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianità ⊆ continuità uniforme ⊆ continuità; con 0 < α ≤1.

Una funzione di variabile reale ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine ${\displaystyle \alpha }$, con ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$, se esiste una costante ${\displaystyle C>0}$ tale che:^[1] per ogni ${\displaystyle x,y\in (a,b)}$

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$

Il numero ${\displaystyle \alpha }$ si dice esponente di Hölder, mentre ${\displaystyle f}$ si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando ${\displaystyle \alpha =1}$. Se ${\displaystyle \alpha =0}$, tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione. Le uniche funzioni che soddisferebbero la condizione di Hölder per ${\displaystyle \alpha >1}$ sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Se ${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta \leq 1}$ ogni funzione hölderiana con esponente ${\displaystyle \beta }$ e definita su un sottoinsieme limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è anche hölderiana con esponente ${\displaystyle \alpha }$. Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono ${\displaystyle \alpha }$-hölderiane.

Lo spazio di Hölder ${\displaystyle C^{n,\alpha }(\Omega )}$ delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto ${\displaystyle \Omega }$ dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$, che insieme con le loro derivate fino all'ordine ${\displaystyle n}$-esimo soddisfano la condizione di Hölder con esponente ${\displaystyle \alpha }$, è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da:

${\displaystyle \|f\|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

se ${\displaystyle n=0}$ e:

${\displaystyle \|f\|_{C^{n,\alpha }}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|+\max _{|\beta |=n}\|D^{\beta }f\|_{C^{0,\alpha }}}$

se ${\displaystyle n>0}$, dove ${\displaystyle \beta }$ varia tra i multiindici.

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un sottoinsieme limitato di qualche spazio metrico totalmente limitato e siano ${\displaystyle 0<\alpha <\beta \leq 1}$ due esponenti di Hölder. Allora, si verifica l'inclusione dei corrispondenti spazi di Hölder:

${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega )}$

che è continua dal momento che la disuguaglianza:

${\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }}$

vale per tutte le ${\displaystyle f\in C^{0,\beta }(\Omega )}$. Inoltre, tale inclusione è compatta, ovvero gli insiemi limitati nella norma ${\displaystyle |f|_{0,\beta }}$ sono relativamente compatti nella norma ${\displaystyle |f|_{0,\alpha }}$. Si tratta di una conseguenza del teorema di Ascoli-Arzelà: infatti, sia ${\displaystyle (u_{n})}$ una successione in ${\displaystyle f\in C^{0,\beta }(\Omega )}$. Grazie al risultato di Ascoli-Arzelà si può assumere senza perdita di generalità che ${\displaystyle u_{n}\to u}$ uniformemente e anche che ${\displaystyle u=0}$. Allora:

${\displaystyle |u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0}$

poiché

${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}}$

e quindi si ha:

${\displaystyle |u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq \left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1)}$

• La funzione ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ definita in ${\displaystyle [0,3]}$ è hölderiana per ogni ${\displaystyle \alpha \leq {1 \over 2}}$.

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
• (EN) D. Gilbarg e Neil Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York, Springer, 1983, ISBN 3-540-41160-7.
• (EN) Qing Han e Fanghua Lin, Elliptic Partial Differential Equations, New York, Courant Institute of Mathematical Sciences, 1997, ISBN 0-9658703-0-8, OCLC 38168365.

• Funzione lipschitziana
• Seminorma
• Sottospazio relativamente compatto
• Spazio totalmente limitato
• Teorema di Ascoli-Arzelà

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

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