Di seguito si fornisce l'idea su cui si basa la dimostrazione del teorema per i punti di massimo della funzione (ma il ragionamento vale, con opportune modifiche, anche per i punti di minimo). Se ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle (a,b)}$ è un punto di massimo locale, allora esiste un intorno (piccolo a piacere) di ${\displaystyle x_{0}}$ tale che la funzione sia crescente prima del punto e decrescente dopo. Siccome la derivata è positiva negli intervalli in cui la funzione cresce ed è negativa negli intervalli in cui la funzione decresce, ${\displaystyle f'}$ è positiva prima di ${\displaystyle x_{0}}$ e negativa dopo. ${\displaystyle f'}$ deve assumere tutti i suoi valori in modo continuo (per il teorema di Darboux), così deve assumere necessariamente valore zero nel punto in cui da positiva diventa negativa. Il solo punto in cui è possibile che ${\displaystyle f'(x)=0}$ è quindi ${\displaystyle x_{0}}$.

Si noti che il teorema, come anche la sua dimostrazione, è più generale dell'intuizione, in quanto non richiede che la funzione sia differenziabile in un intorno di ${\displaystyle x_{0}}$. Come affermato dal teorema, è sufficiente che la funzione sia differenziabile solo nel punto estremo.

Si supponga che ${\displaystyle x_{0}}$ sia un punto di massimo locale (la dimostrazione si applica anche nel caso in cui ${\displaystyle x_{0}}$ sia un minimo). Allora:

${\displaystyle \exists \delta >0\$ :\ x\in \left(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta \right)\cap (a,b)\Rightarrow f(x_{0})\geq f(x)}

Pertanto, per ogni ${\displaystyle h\in (0,\delta )}$ vale la relazione

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

Dato che il limite di questo rapporto per ${\displaystyle h\to 0^{+}}$ esiste ed è pari a ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})}$ (limite del rapporto incrementale), allora si può concludere (permanenza del segno) che${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\leq 0}$. D'altra parte, per ${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$ si nota che

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$;

di nuovo, il limite per ${\displaystyle h\to 0^{-}}$ vale ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})}$, da cui abbiamo ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\geq 0}$.

Combinando i risultati ottenuti si può concludere che ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})=0}$, C.V.D.

Se ${\displaystyle f}$ è derivabile con continuità (cioè se è ${\displaystyle C^{1}}$) in un intorno aperto del punto ${\displaystyle x_{0}}$, allora ${\displaystyle f'(x_{0})>0}$ significa che ${\displaystyle f}$ sta crescendo in un intorno di ${\displaystyle x_{0},}$ come segue.

Se ${\displaystyle f'(x_{0})=K>0}$ e ${\displaystyle f\in C^{1},}$ allora, dalla continuità della derivata, esistono ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ tali che ${\displaystyle f'(x)>K/2}$ ${\displaystyle \forall x\in \left(x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0}\right)}$. Allora ${\displaystyle f}$ è crescente su questo intervallo. Dal teorema di Lagrange: la pendenza di ogni secante è almeno ${\displaystyle K/2,}$ poiché uguaglia la pendenza di qualche tangente.

Tuttavia, nelle ipotesi generali del teorema di Fermat, dove è dato che solo la derivata "in" ${\displaystyle x_{0}}$ sia positiva, si può solamente concludere che le linee secanti "attraverso" ${\displaystyle x_{0}}$ avranno pendenza positiva, per secanti tra ${\displaystyle x_{0}}$ e punti abbastanza vicini.

Al contrario, se la derivata di ${\displaystyle f}$ in un punto è 0 (${\displaystyle x_{0}}$ è un punto stazionario), non si può in generale concludere niente sul comportamento locale della funzione: potrebbe crescere da tutti e due i lati (come in ${\displaystyle x^{3}}$), decrescere da una parte e crescere dall'altra (come per ${\displaystyle x^{4}}$), crescere e poi decrescere (come in ${\displaystyle -x^{4}}$), oppure comportarsi in una maniere più complicata, ad esempio oscillando (come ${\displaystyle x^{2}(\sin(1/x))}$, come discusso sotto).

Si può analizzare l'andamento locale attraverso il test della derivata seconda e delle derivate di ordine superiore. Se la funzione è sufficientemente derivabile e se la prima derivata non nulla in ${\displaystyle x_{0}}$ è una funzione continua, si può allora dedurre il comportamento locale (cioè se ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$ è la prima derivata non nulla, e ${\displaystyle f^{(k)}}$ è continua, così ${\displaystyle f\in C^{k}}$). In tal caso si può trattare ${\displaystyle f}$ come localmente vicina a un polinomio di grado ${\displaystyle k}$, poiché si comporta approssimativamente come ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},}$ ma se la ${\displaystyle k}$-esima derivata non è continua, non si possono trarre certe conclusioni, e si può avere un andamento piuttosto differente.

Si consideri la funzione ${\displaystyle \sin(1/x),}$ essa oscilla crescendo rapidamente tra ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle 1}$ se ${\displaystyle x}$ si avvicina ${\displaystyle 0}$. Si consideri poi ${\displaystyle f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2},}$ questa oscilla crescendo rapidamente tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 2x^{2}}$ se ${\displaystyle x}$ tende a ${\displaystyle 0.}$ Se si estende questa funzione con ${\displaystyle f(0):=0,}$ allora essa è continua e ovunque derivabile (è derivabile in ${\displaystyle x=0}$ con derivata nulla), ma ha un comportamento alquanto strano vicino ${\displaystyle 0}$: in ogni intorno di ${\displaystyle 0}$ si annulla infinite volte, ma diventa anche uguale a ${\displaystyle 2x^{2}}$ (un numero positivo) frequentemente.

Continuando su questa linea, ${\displaystyle f(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}}$ oscilla fra ${\displaystyle x^{2}}$ e ${\displaystyle 3x^{2}}$, ${\displaystyle x=0}$ è un minimo sia locale che globale, ma in nessun suo intorno la funzione sta crescendo o decrescendo: oscilla selvaggiamente vicino a ${\displaystyle x=0}$.

Questa patologia può essere compresa perché, mentre la funzione è derivabile ovunque, non è derivabile con continuità: il limite di ${\displaystyle f'(x)}$ con ${\displaystyle x\to 0}$ non esiste, perciò la derivata non è continua in ${\displaystyle 0.}$ Questo rispecchia le oscillazioni tra valore crescenti e decrescenti se ci si avvicina a al punto critico ${\displaystyle x=0}$.

Sia ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ un aperto, e sia ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$; sia ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} \in \Omega }$ un punto di massimo o minimo locale per ${\displaystyle f}$, e sia ${\displaystyle f}$ differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$. Allora il gradiente di ${\displaystyle f}$ calcolato in ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ è il vettore nullo, ossia

${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {0} }$.

Dalla dimostrazione si vede che l'ipotesi di differenziabilità di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ non è indispensabile (si richiede solo l'esistenza delle derivate parziali); l'enunciato potrebbe essere riformulato nel seguente modo: se ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ è un punto estremante per ${\displaystyle f}$, e se esiste una derivata direzionale di ${\displaystyle f}$ nel punto ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$, allora tale derivata è ivi nulla.