In analisi matematica, l'integrale improprio o generalizzato è il limite di un integrale definito al tendere di un estremo di integrazione (o entrambi) ad un numero reale oppure all'infinito; tale numero reale può appartenere all'insieme di definizione della funzione integranda (e in tal caso si ottiene lo stesso risultato che si ha calcolando un integrale definito), oppure può rappresentare un punto di discontinuità.^[1]

Gli integrali impropri si utilizzano per rendere calcolabili integrali riguardanti intervalli illimitati e/o funzioni non limitate, che non sono trattabili con l'integrale di Riemann. Esso richiede infatti la limitatezza sia per l'intervallo di integrazione, sia per la funzione integranda.^[2]

Un integrale improprio è un limite della forma:^[3]

${\displaystyle \lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$

oppure:

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Si possono presentare tre casi:

• Sia ${\displaystyle f\colon [a,+\infty )\to \mathbb {R} }$ continua. Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim _{z\to +\infty }\int _{a}^{z}f(x)dx.}$

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{\alpha }}}dx={\frac {1}{\alpha -1}},\quad }$ se ${\displaystyle \alpha >1.}$

• Sia ${\displaystyle f:(-\infty ,b]\to \mathbb {R} }$ continua. Allora si pone:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{z\to -\infty }\int _{z}^{b}f(x)dx.}$

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}x^{n}e^{x}dx=(-1)^{n+1}n!,}$

per ${\displaystyle n}$ intero non negativo.

• Sia ${\displaystyle f\colon (-\infty ,+\infty )\to \mathbb {R} }$ continua. Allora si pone, sfruttando la proprietà dell'additività:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int _{c}^{+\infty }f(x)dx,}$

dove ${\displaystyle c}$ è un punto qualunque. Ad esempio:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

Se il limite da calcolare esiste finito si dice che la funzione ${\displaystyle f}$ è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente. Se invece il limite vale ${\displaystyle +\infty }$ o ${\displaystyle -\infty ,}$ si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste oppure è indeterminato.^[4]

Si possono presentare tre casi:

• Sia ${\displaystyle f\colon [a,b)\to \mathbb {R} }$ continua divergente in ${\displaystyle b}$. Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx.}$

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\tan xdx.}$

• Sia ${\displaystyle f\colon (a,b]\to \mathbb {R} }$ continua divergente in ${\displaystyle a}$. Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx.}$

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-1}}dx.}$

• Sia ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ continua divergente in ${\displaystyle a}$ e in ${\displaystyle b}$. Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+} \atop \delta \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\delta }f(x)dx.}$

Se in uno di questi casi il limite esiste finito si dice che la funzione ${\displaystyle f}$ è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente, mentre se il limite vale ${\displaystyle +\infty }$ o ${\displaystyle -\infty }$ si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste oppure che è indeterminato.

Se esiste il limite di ${\displaystyle f(x)}$ per ${\displaystyle x}$ che tende a ${\displaystyle +\infty }$, allora condizione necessaria affinché un integrale sia convergente è che la funzione sia limitata al divergere dell'argomento. Infatti, se ciò non accadesse sarebbe possibile individuare una costante ${\displaystyle M}$ tale che sia ${\displaystyle |f(x)|>M}$ per ${\displaystyle |x|>x_{0}}$, e per la monotonia e l'additività dell'integrale si avrebbe:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\int _{a}^{x_{0}}f(x)dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }f(x)dx\geq \int _{a}^{x_{0}}f(x)dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }Mdx=+\infty }$

in quanto il secondo addendo è uguale al prodotto tra una costante non nulla e la misura dell'intervallo ${\displaystyle [x_{0},+\infty )}$, che è infinita. Si possono avere anche dei casi in cui l'integrale sia convergente, ma il limite della funzione non esista. Ad esempio, data una funzione ${\displaystyle f(x)}$ che vale ${\displaystyle 1}$ se ${\displaystyle x}$ è intero e ${\displaystyle 0}$ in ogni altro punto, si ha che tale funzione non converge a ${\displaystyle 0}$ (è possibile trovare una successione di valori della funzione che è costantemente 1) ma ha integrale ${\displaystyle 0}$, perché l'area sotto la funzione in ogni intervallo finito è ${\displaystyle 0}$.

Una condizione necessaria e sufficiente affinché ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ esista finito è che per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esista ${\displaystyle \gamma >0}$ tale che per ogni ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\gamma }$ si abbia:

${\displaystyle \left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon .}$

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni definite nell'intervallo ${\displaystyle [a,+\infty )}$. Riprendendo la teoria dei limiti si possono definire due criteri di integrabilità.^[5]

Se si verifica che:

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq c\cdot g(x),\quad \forall x\in [a,+\infty ),}$

per una certa costante ${\displaystyle c}$, allora si ha che:

• se ${\displaystyle g}$ è integrabile in ${\displaystyle [a,+\infty ),}$ allora anche ${\displaystyle f}$ è integrabile in ${\displaystyle [a,+\infty );}$
• se ${\displaystyle f}$ è divergente in ${\displaystyle [a,+\infty ),}$ allora anche ${\displaystyle g}$ è divergente in ${\displaystyle [a,+\infty ).}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Stima asintotica § Successioni asintotiche.

Se ${\displaystyle f>0}$, ${\displaystyle g>0}$ e ${\displaystyle f\sim g}$ per ${\displaystyle x\to +\infty }$ (quando cioè il limite del rapporto tra le funzioni è un numero finito diverso da zero), allora ${\displaystyle f}$ è integrabile se e solo se ${\displaystyle g}$ è integrabile. Inoltre, se ${\displaystyle f=o(g)}$ allora ${\displaystyle f}$ è integrabile se ${\displaystyle g}$ è integrabile.

Data una funzione ${\displaystyle f(x)}$, l'integrale improprio di ${\displaystyle f}$ tra due estremi ${\displaystyle a,b}$ si dice assolutamente convergente se converge l'integrale di ${\displaystyle |f(x)|}$ tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$.

Se un integrale improprio è assolutamente convergente, allora è convergente, mentre non vale l'implicazione inversa^[6]. Il criterio della convergenza assoluta si usa quando ${\displaystyle f(x)}$ non presenta segno costante in un intorno dell'estremo in cui l'integrale è improprio, ed è quindi impossibile usare gli altri criteri.

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.verde - Vol.5, Zanichelli, 2013, ISBN 978-88-08-23610-4.
• Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.

• Integrale
• Integrale di Riemann
• Integrale di Lebesgue
• Integrale multiplo improprio
• Limite (matematica)

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'integrale improprio

• integrale improprio, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale improprio, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Integrale improprio, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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