In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende ${\displaystyle C([a,b])}$, lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).^[1]

Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale. Prende il nome dai matematici italiani Giulio Ascoli e Cesare Arzelà.

Una successione di funzioni continue ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in N}}$ definite su un intervallo ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ è detta uniformemente limitata se esiste un numero ${\displaystyle M>0}$ tale che:

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$

per ogni funzione ${\displaystyle f_{n}}$ della successione e per ogni ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle \delta >0}$ tale che:

${\displaystyle |f_{n}(t)-f_{n}(\tau )|<\varepsilon \quad {\text{se}}\quad |t-\tau |<\delta }$

per ogni funzione ${\displaystyle f_{n}}$ della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione ${\displaystyle f_{n}}$ di funzioni continue a valori reali definite su ${\displaystyle [a,b]}$. Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione ${\displaystyle f_{n_{k}}}$ convergente uniformemente.

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano ${\displaystyle X,Y}$ spazi metrici, ${\displaystyle X}$ compatto ed ${\displaystyle E}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle C(X,Y)}$. Se ${\displaystyle E}$ è equicontinuo e l'insieme ${\displaystyle E(t)=\{f(t):f\in E\}}$ è relativamente compatto per ogni ${\displaystyle t}$ in ${\displaystyle X}$, allora ${\displaystyle E}$ è relativamente compatto.

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ ed una successione ${\displaystyle f_{n}}$. Allora essa è limitata sul primo razionale ${\displaystyle q_{1}}$, ma poiché ${\displaystyle [-M,M]}$ è un compatto (dove ${\displaystyle M}$ è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su ${\displaystyle q_{1}}$, che indichiamo con ${\displaystyle f_{1,n}}$. La sottosuccessione ${\displaystyle f_{1,n}}$ è limitata sul secondo razionale ${\displaystyle q_{2}}$ e ammette dunque una sotto-sottosuccessione convergente su ${\displaystyle q_{2}}$, indicata con ${\displaystyle f_{2,n}}$. Questa a sua volta sarà limitata su ${\displaystyle q_{3}}$, e così via. Procedendo in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni ${\displaystyle f_{m,n}}$ tali che ${\displaystyle f_{m,n}}$ converge per ogni ${\displaystyle q_{i}}$, con ${\displaystyle i}$ minore o uguale a ${\displaystyle m}$. A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle ${\displaystyle f_{m,n}}$, cioè prendendo la successione ${\displaystyle f_{n,n}}$ che converge su ogni razionale contenuto in ${\displaystyle [a,b]}$.

Si vuole dimostrare che la successione ${\displaystyle f_{n,n}}$ è di Cauchy su ${\displaystyle [a,b]}$, poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque ${\displaystyle \varepsilon }$ e si ricavi dall'equicontinuità il ${\displaystyle \delta }$ corrispondente. Ricoprendo quindi ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle N}$ intervallini ${\displaystyle I_{n}}$, tutti di ampiezza minore di ${\displaystyle \delta }$, ogni ${\displaystyle t}$ dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ appartiene a un ${\displaystyle I_{n}}$. Quindi si ha:

${\displaystyle |f_{n,n}(t)-f_{m,m}(t)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_{i})|+|f_{n,n}(q_{i})-f_{m,m}(q_{i})|+|f_{m,m}(q_{i})-f_{m,m}(t)|\ }$

Il primo e il terzo termine al secondo membro sono minori di ${\displaystyle \varepsilon }$, basti scegliere ${\displaystyle q_{i}}$ in ${\displaystyle I_{j}}$ (${\displaystyle I_{j}}$ tale che ${\displaystyle t\in I_{j}}$), in virtù dell'equi-uniforme-continuità delle ${\displaystyle f_{n}}$. Il termine centrale al secondo membro è invece minore di ${\displaystyle \varepsilon }$ per ${\displaystyle m,n}$ sufficientemente grandi, poiché ${\displaystyle f_{n,n}}$ converge su tutti i razionali. ${\displaystyle f_{n,n}}$ converge puntualmente ad una ${\displaystyle f(x)}$, la successione ${\displaystyle f_{n,n}}$ è equiuniformemente continua in ${\displaystyle [a,b]}$, quindi ${\displaystyle f_{n,n}}$ converge uniformemente ad ${\displaystyle f(x)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$, quindi in particolare ${\displaystyle f(x)}$ è continua in ${\displaystyle [a,b]}$.

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• Cesare Arzelà, Sulle funzioni di linee, in Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., vol. 5, n. 5, 1895, pp. 55–74.
• Cesare Arzelà, Un'osservazione intorno alle serie di funzioni, in Rend. Dell'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna, 1882–1883, pp. 142–159.
• Giulio Ascoli, Le curve limite di una varietà data di curve, in Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., vol. 18, n. 3, 1883–1884, pp. 521–586.
• Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, in Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 22, 1906, pp. 1–74, DOI:10.1007/BF03018603.

• Equicontinuità
• Funzione continua
• Funzione limitata
• Limite di una successione
• Norma uniforme
• Sottospazio relativamente compatto
• Spazio completo
• Successione di funzioni
• Teorema di Heine-Borel

• (EN) Ascoli-Arzelà theorem, in PlanetMath.

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