In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con ${\displaystyle \subseteq }$, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme ${\displaystyle B}$ è contenuto o incluso nell'insieme ${\displaystyle A}$ se, per ogni elemento ${\displaystyle x}$, se ${\displaystyle x}$ appartiene a ${\displaystyle B}$ allora ${\displaystyle x}$ appartiene ad ${\displaystyle A}$". In simboli, dati due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, si ha:

${\displaystyle B\subseteq A\iff \forall x:x\in B\Rightarrow x\in A.}$^[1]

L'insieme ${\displaystyle B}$ si dice sottoinsieme di ${\displaystyle A}$.

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta per indicare che ogni elemento di ${\displaystyle B}$ è anche elemento di ${\displaystyle A}$ ma che esistono elementi di ${\displaystyle A}$ che non sono elementi di ${\displaystyle B}$.

Nel caso in cui tutti gli elementi di ${\displaystyle A}$ appartengono anche a ${\displaystyle B}$ si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di ${\displaystyle A}$ non è compreso nell'insieme ${\displaystyle B}$, cioè nel caso dell'inclusione stretta.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è ${\displaystyle \subseteq }$, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è ${\displaystyle \subset }$. Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con ${\displaystyle \subset }$ un sottoinsieme e con ${\displaystyle \subsetneq }$ un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che ${\displaystyle B}$ non coincide con ${\displaystyle A}$).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è ${\displaystyle \supseteq }$ (oppure ${\displaystyle \supset }$) per il sovrainsieme, e ${\displaystyle \supset }$ (oppure ${\displaystyle \supsetneq }$) per il sovrainsieme proprio.

• L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:

${\displaystyle A\subseteq A}$ (riflessività)

${\displaystyle B\subseteq A\land A\subseteq B\Rightarrow B=A}$ (antisimmetria)

${\displaystyle C\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow C\subseteq A}$ (transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$:

"${\displaystyle A}$ è uguale ${\displaystyle B}$ se e solo se ${\displaystyle A}$ è contenuto in ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle B}$ è contenuto in ${\displaystyle A}$",

cioè:

${\displaystyle A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A.}$

• L'insieme vuoto ${\displaystyle \varnothing }$ è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme ${\displaystyle A}$ si ha che ${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$".

• Valgono

${\displaystyle B\subset A\Leftrightarrow A\supset B;}$

${\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A\supseteq B.}$

• Se ${\displaystyle B\subseteq A}$, allora:

${\displaystyle B\cup A=A;}$

${\displaystyle B\cap A=B.}$

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.

Esempi:

• è esatta: ${\displaystyle 2\in \{1,2,3\}}$ - cioè ${\displaystyle 2}$ appartiene all'insieme ${\displaystyle \{1,2,3\}}$
• è errata: ${\displaystyle 2\subset \{1,2,3\}}$ - cioè non si può dire che ${\displaystyle 2}$ è incluso nell'insieme ${\displaystyle \{1,2,3\}}$
• è esatta: ${\displaystyle \{2\}\subset \{1,2,3\}}$ - cioè il singoletto di ${\displaystyle 2}$ è incluso nell'insieme ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ∪, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.

• Appartenenza
• Sottoclasse (insiemistica)
• Sottoinsieme
• Relazione binaria
• Teoria degli insiemi
• Teoria ingenua degli insiemi
• Teorie formali degli insiemi
• Insieme delle parti
• ${\displaystyle \cup }$ : unione
• ${\displaystyle \cap }$ : intersezione

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «sottoinsieme»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul sottoinsieme

• (EN) subset, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Subset, su MathWorld, Wolfram Research.

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