Integrale di Riemann-Stieltjes

In analisi matematica, l'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann. L'integrale prende il nome dai matematici Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

Una generalizzazione di questo operatore è data dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Date due funzioni di variabile reale ${\displaystyle f,\,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, sia ${\displaystyle x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{i}<\ldots <x_{n}=b}$ una partizione dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$. Da ognuno dei sottointervalli definiti dalla partizione si consideri un punto ${\displaystyle c_{i}\in \left[x_{i},x_{i+1}\right]}$. Il calibro ${\displaystyle \delta (P)}$ della partizione ${\displaystyle P}$ è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione:

${\displaystyle \delta (P)=\max _{x_{i}\in P}|x_{i+1}-x_{i}|}$

L'integrale di Riemann-Stieltjes di ${\displaystyle f}$ rispetto a ${\displaystyle g}$, denotato da:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)}$

è definito come il seguente limite:

${\displaystyle \lim _{\delta (P)\rightarrow 0}\sum _{x_{i}\in P}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))}$

se esso esiste indipendentemente dalla scelta dei punti ${\displaystyle c_{i}}$. La funzione ${\displaystyle f}$ è definita integranda, mentre ${\displaystyle g}$ è la funzione integratrice.

Esistono diversi teoremi riguardanti l'esistenza del limite sopra definito; la condizione di esistenza più semplice stabilisce che la funzione integranda sia continua, e la funzione integratrice sia a variazione limitata; quest'ultima condizione equivale a chiedere che ${\displaystyle g}$ sia la differenza di due funzioni monotone. Un'altra condizione di esistenza è che le due funzioni non condividano alcuno punto di discontinuità.

Perché l'integrale sopra definito esista, sono richieste condizioni più deboli rispetto a quelle dell'integrale di Riemann. Se la funzione ${\displaystyle g}$ è di classe ${\displaystyle C^{1}}$, ovvero derivabile e con derivata continua, l'integrale sopra definito coincide con l'integrale di Riemann:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x}$

In generale, tuttavia, la funzione integratrice può presentare discontinuità di salto o altre irregolarità che rendono impossibile utilizzare l'espressione che contiene la sua derivata (come ad esempio nel caso della funzione di Cantor). È così possibile estendere la nozione di integrabilità anche a molti casi non trattabili tramite l'integrale di Riemann. Inoltre, per l'integrale di Riemann-Stieltjes valgono tutte le usuali proprietà dell'integrale di Riemann.

È possibile estendere ancora la classe delle funzioni integrabili, considerando l'integrale di Lebesgue; tuttavia se si ammettono integrali impropri, quest'ultimo non può essere considerato in senso stretto come una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes. L'integrale di Lebesgue-Stieltjes costituisce la generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue.

L'integrale di Riemann-Stiltjes trova applicazione in molti campi della matematica e della fisica, laddove si incontrano funzioni non integrabili secondo Riemann.

In fisica è possibile esprimere numerose quantità per mezzo di integrali; ad esempio, la massa di un oggetto può essere espressa come somma infinita delle infinitesime masse che la compongono, o del prodotto tra densità e volume:

${\displaystyle M=\int \mathrm {d} \mu =\int \rho \mathrm {d} V}$

La prima espressione ha tuttavia significato solo se la massa ha una distribuzione continua nello spazio; la seconda, se calcolata come integrale di Riemann-Stieltjes, consente di dare significato all'integrale anche nel caso di distribuzioni di massa discontinue (ad esempio puntiformi).

Si consideri una funzione di ripartizione ${\displaystyle g}$ di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$; la derivata di ${\displaystyle g}$ è la sua densità di probabilità. Data una funzione ${\displaystyle f}$ per cui il valore atteso ${\displaystyle E(|f(X)|)}$ è finito, vale la formula:

${\displaystyle E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x}$

Se per la variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ non è possibile definire una funzione di densità di probabilità (ad esempio se ${\displaystyle X}$ ha una distribuzione discreta), non è possibile applicare la formula precedente; utilizzando l'integrale di Riemann-Stieltjes, si può invece esprime il valore atteso di ${\displaystyle f(X)}$ come:

${\displaystyle E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} g}$

per qualunque distribuzione cumulativa di probabilità.

Lo spazio duale dello spazio di Banach delle funzioni continue ${\displaystyle C[a,b]}$ sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ si può rappresentare come lo spazio formato dagli integrali di Riemann-Stieltjes rispetto a funzioni a variazione limitata.

• (EN) Georgii Evgen'evich Shilov, B. L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8.
• (EN) Daniel W. Stroock, A Concise Introduction to the Theory of Integration, 3ª ed., Birkhauser, 1998, ISBN 0-8176-4073-8.

• Integrale
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes
• Partizione di un intervallo

• Riemann-Stieltjes, integrale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• Integrale di Riemann-Stieltjes, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Stieltjes Integral, su MathWorld, Wolfram Research.

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