In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni di crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.

Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di simmetria (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da numeri complessi. Infatti se ad un oggetto comune (come un quadrato) corrispondono due dimensioni ${\displaystyle (x,y)}$, ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano ${\displaystyle (X_{r};X_{i})}$ e ${\displaystyle (Y_{r};Y_{i})}$. Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.

Una forma modulare di peso ${\displaystyle k}$ per il gruppo

${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right),a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\right\}}$

è una funzione ${\displaystyle f}$ definita sul semipiano superiore complesso ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} ,{\text{Im}}(z)>0\}}$ a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:

(1) è una funzione olomorfa su ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$;

(2) per ogni ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ e per ogni matrice ${\displaystyle \gamma =\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)}$ in ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$ vale

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

(3) è olomorfa alla cuspide, cioè ${\displaystyle f}$ deve essere olomorfa per ${\displaystyle z\to i\infty }$ (cioè per ${\displaystyle {\text{Im}}(z)\to +\infty }$). Il termine cuspide è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso ${\displaystyle k}$ è solitamente un numero intero e l'insieme delle forme modulari di peso ${\displaystyle k}$ rispetto a ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$ è uno spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e si indica con ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } ))}$.

La seconda condizione, detta anche condizione di modularità debole, può essere riformulata. Siano

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

${\displaystyle T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)}$

Poiché le matrici ${\displaystyle T}$ e ${\displaystyle S}$ generano il gruppo ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$, allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

${\displaystyle f(-1/z)=z^{k}f(z)\,}$

${\displaystyle f(z+1)=f(z)\,}$

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per ${\displaystyle k}$ dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

A volte, invece di ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$, si considera il gruppo modulare, cioè ${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$, poiché così l'azione su ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ è fedele.

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare ${\displaystyle f}$ esiste uno sviluppo in serie di Fourier

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n},}$

dove ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$. I coefficienti ${\displaystyle a_{n}}$ sono detti coefficienti di Fourier di ${\displaystyle f}$ e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, ${\displaystyle q}$-sviluppo in serie di ${\displaystyle f}$.

Una forma cuspidale di peso ${\displaystyle k}$ è una forma modulare ${\displaystyle f}$ di peso ${\displaystyle k}$ che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè

(4) ${\displaystyle a_{0}=0}$

dove ${\displaystyle a_{0}}$ è il primo coefficiente del ${\displaystyle q}$-sviluppo di ${\displaystyle f}$. L'insieme delle forme cuspidali è un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } ))}$ e si indica con ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } ))}$.

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti ${\displaystyle a_{n}}$ del ${\displaystyle q}$-sviluppo di una funzione ${\displaystyle f}$ definita sul semipiano superiore complesso a valori nei numeri complessi che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

(3') esistono due costanti positive ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle b}$ tali che ${\displaystyle |a_{n}|<Cn^{b}}$ per ogni ${\displaystyle n>0}$.

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle forme automorfe.

Utilizzando la teoria delle superfici di Riemann e il teorema di Riemann-Roch è possibile calcolare la dimensione degli spazi vettoriali delle forme modulari e cuspidali di peso ${\displaystyle k}$. Dato ${\displaystyle k}$ intero, si ha

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }({\mathcal {S}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )))={\begin{cases}0&{\text{se }}k{\text{ dispari}}{\text{ oppure }}k<4\\\lfloor {\frac {k}{12}}\rfloor -1&{\text{se }}k\geq 4{\text{ e }}k\equiv 2\mod 12\\\lfloor {\frac {k}{12}}\rfloor &{\text{altrimenti}},\end{cases}}}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }({\mathcal {M}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )))={\begin{cases}0&{\text{se }}k{\text{ dispari}}{\text{ oppure }}k<4\\\dim _{\mathbb {C} }({\mathcal {S}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )))+1&{\text{altrimenti}},\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ è la funzione parte intera.

Ad ogni forma modulare è possibile associare una L-serie. Grazie al teorema di Taniyama-Shimura dimostrato da Andrew Wiles, sappiamo che ad ogni L-serie di una curva ellittica corrisponde una L-serie di una forma modulare.

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, completata da Wiles nel 1995.

• (EN) F. Diamond e J. Shurman (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228 Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.
• (EN) T. Miyake (1989), Modular Forms, Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.
• (EN) Gorō Shimura (1971), Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press.
• (EN) R. Gunning (1962), Lectures on Modular Forms, Princeton University Press: Princeton, New Jersey.
• (EN) T. M. Apostol (1976), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, New York.
• Singh, S. (1999), L'ultimo teorema di Fermat, Biblioteca Universale Rizzoli, ISBN 88-17-11291-7.

• Forma cuspidale
• Serie di Eisenstein
• Forma automorfa
• Ultimo teorema di Fermat
• Semipiano superiore complesso
• Gruppo modulare Gamma
• Sviluppo in serie di Fourier

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