Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Quadrato (disambigua).

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Un quadrato, in geometria, è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti.

Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).

Le diagonali di un quadrato euclideo sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:

${\displaystyle {\mbox{diagonale}}={\mbox{lato}}\cdot {\sqrt {2}}}$

Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).

${\displaystyle AC={\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}}={\sqrt {l^{2}+l^{2}}}={\sqrt {2\cdot l^{2}}}=l\cdot {\sqrt {2}}}$.

Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:

${\displaystyle {\mbox{lato}}\cdot 4}$

L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:

${\displaystyle {\mbox{lato}}^{2}}$

ma si può calcolare anche come

${\displaystyle {\frac {{\mbox{diagonale}}^{2}}{2}}}$ per il teorema di Pitagora.

Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.

Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.

Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli ${\displaystyle k{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=k90^{\circ }{\mbox{ per }}k=0,1,2,3}$; naturalmente la rotazione di ${\displaystyle \,\pi }$ radianti è la simmetria centrale.

Il quadrato ${\displaystyle Q}$ di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:

${\displaystyle Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|\leq 1,|y|\leq 1{\big \}}.}$

Il suo bordo è quindi

${\displaystyle \partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|=1,|y|\leq 1\}\cup \{(x,y)\ |\ |y|=1,|x|\leq 1{\big \}}.}$

Questo può essere anche descritto come

${\displaystyle \partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ 0<\lim _{n\rightarrow \infty }x^{2n}+y^{2n}<\infty {\big \}}.}$ In matematica, questo quadrato rappresenta la palla unitaria del piano rispetto alla norma uniforme.

Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: ${\displaystyle Q:{\big |}ax+by|+|bx-ay|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}$

Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate ${\displaystyle {\big (}x_{0},y_{0})}$ l'equazione diventa:

${\displaystyle Q:{\big |}a(x-x_{0})+b(y-y_{0})|+|b(x-x_{0})-a(y-y_{0})|\leq 1}$

da cui:

${\displaystyle Q:{\big |}ax+by-ax_{0}-by_{0}|+|bx-ay-bx_{0}+ay_{0}|\leq 1}$

ovvero nella forma più generale possibile:

${\displaystyle Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}$

Il cui bordo è quindi:

${\displaystyle Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|=1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}$

Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.

Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro.

Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:

• Quadrilatero
• Quadrato (algebra)
• Teorema delle intersezioni dimensionali
• Sezioni ipercubiche ortoassiali

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «quadrato»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul quadrato

• quadrato, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Attilio Frajese, QUADRATO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.
• quadrato², su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• quadrato, su sapere.it, De Agostini.
• (EN) square, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Square, su MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Poligoni
Poligoni per numero di lati	Triangolo (3) · Quadrilatero (4) · Pentagono (5) · Esagono (6) · Ettagono (7) · Ottagono (8) · Ennagono (9) · Decagono (10) · Endecagono (11) · Dodecagono (12) · Tridecagono (13) · Tetradecagono (14) · Pentadecagono (15) · Esadecagono (16) · Eptadecagono (17) · Ottadecagono (18) · Ennadecagono (19) · Icosagono (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · Triacontagono (30) · Pentacontagono (50) · 257-gono (257) · Chiliagono (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gono (65 537)
Triangoli	In base ai lati: Triangolo equilatero · Triangolo isoscele · Triangolo scaleno · In base agli angoli: Triangolo rettangolo · Triangolo acutangolo · Triangolo ottusangolo
Quadrilateri	Quadrato · Rettangolo · Parallelogramma · Rombo · Trapezio · Aquilone
Poligoni stellati	Pentagramma · Esagramma · Eptagramma · Ottagramma · Enneagramma · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Altri	Poligono regolare · Poligono equilatero · Poligono equiangolo · Poligono sghembo

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