La funzione di Mertens è una funzione che associa ad ogni intero positivo n il numero intero denotato con M(n) ottenuto come la somma dei valori assunti dalla funzione di Möbius in corrispondenza dei numeri interi compresi tra 1 ed n:

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$,

dove μ(k) denota la funzione di Möbius.

Essa è stata studiata dal matematico tedesco Franz Mertens (1840-1924).

Come successione di interi la funzione di Mertens compare nella OEIS in corrispondenza della sigla A002321.

Poiché la funzione di Möbius assume solo tre possibili valori (-1, 0 e +1), la funzione di Mertens, che è il suo integrale discreto, deve soddisfare la seguente disuguaglianza

${\displaystyle \left|M(n)\right|\leq n}$

In effetti i suoi valori al variare di n presentano un andamento oscillante e variazioni ridotte, presentano molti intervalli di stazionarietà e frequenti attraversamenti dell'asse delle ascisse.

I primi valori sono dati dalla seguente tavola

${\displaystyle M(n)}$	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12	+13	+14	+15	+16	+17	+18	+19	+20
0+	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
20+	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
40+	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
60+	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
80+	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1

Un'idea della lenta crescita del codominio della M(n) al crescere di n è data dai primi termini della successione dei valori ${\displaystyle M(10^{k})}$, successione reperibile in OEIS in corrispondenza della sigla A084237 i cui valori per k = 0, 1, ..., 16 sono

${\displaystyle k}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
${\displaystyle M(10^{k})}$	1	-1	1	2	-23	-48	212	1037	1928	-222	-33722	-87856	62366	599582	-875575	-3216373	-3195437	-21830254	-46758740	899990187	461113106	3395895277	-2061910120

Mertens nel 1897 ha avanzato la congettura che valesse la disuguaglianza

${\displaystyle \left|M(n)\right|\leq {\sqrt {n}}}$,

dopo aver verificato che essa è soddisfatta per n < 10000.

Tuttavia nel 1985 A. M. Odlyzko e H. J. J. te Riele hanno dimostrato che tale congettura è errata, con una dimostrazione che richiede una comprensione del calcolo avanzato e che non fornisce un controesempio. Il minimo valore x che falsifica la congettura è ancora sconosciuto, tuttavia è stato dimostrato che deve essere compreso tra 10¹² e 10⁶⁵.

Un'ulteriore congettura di Odlyzko e te Riele ancora aperta affermerebbe che

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|M(n)\right|}{\sqrt {n}}}=\infty }$

Il termine n-esimo della successione di Mertens fornisce il valore del determinante della matrice di Redheffer n × n.

• A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele (1985): Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math., 357 pp. 138-160. (v. in PDF
• Mertens function in MathWorld

• Congettura di Mertens
• Ipotesi di Riemann

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione di Mertens

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Mertens, su MathWorld, Wolfram Research.

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