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In matematica, la funzione parte intera, nota anche come funzione floor (dalla parola inglese floor che significa "pavimento"), è la funzione che associa ad ogni numero reale ${\displaystyle x}$ il più grande intero minore o uguale a ${\displaystyle x}$. La funzione parte intera è solitamente indicata con ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ o ${\displaystyle [x]}$.

La funzione mantissa, definita come ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$, anche scritta come ${\displaystyle x}$ mod 1, oppure ${\displaystyle \{x\}}$, è chiamata la parte frazionaria di ${\displaystyle x}$. Ogni frazione ${\displaystyle x}$ può essere scritta come un numero misto, cioè la somma di un intero e una frazione propria. La funzione floor e la funzione parte frazionaria estendono questa decomposizione a tutti i numeri reali.

Qualche proprietà della funzione parte intera.

• Si ha

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{k\in \mathbb {Z} :k\leq x\},}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1,}$

con l'uguaglianza nella parte sinistra che vale se e solo se ${\displaystyle x}$ è un intero.

• La funzione parte intera è idempotente:

${\displaystyle \lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor .}$

• Per ogni intero ${\displaystyle k}$ e ogni numero reale ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle \lfloor k+x\rfloor =k+\lfloor x\rfloor .}$

• Per ogni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ reali,

${\displaystyle \lfloor x\pm y\rfloor =\lfloor x\rfloor \pm \lfloor y\rfloor +\lfloor x\pm y-\lfloor x\rfloor \mp \lfloor y\rfloor \rfloor .}$

• Per ogni intero ${\displaystyle k}$ e ogni numero reale ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle \lfloor kx\rfloor =k\lfloor x\rfloor +\lfloor kx-k\lfloor x\rfloor \rfloor .}$

• Per ogni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ reali,

${\displaystyle \lfloor xy\rfloor =\lfloor x\rfloor \lfloor y\rfloor +\lfloor xy-\lfloor x\rfloor \lfloor y\rfloor \rfloor .}$

• Per ogni numero reale non intero ${\displaystyle x}$ si ha:

${\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lfloor x\rfloor -1.}$

• L'ordinario arrotondamento di un numero ${\displaystyle x}$ all'intero più vicino può essere espresso come ${\displaystyle \lfloor x+0,5\rfloor }$.
• La funzione parte intera non è continua, ma è semi-continua. Essendo una funzione costante a tratti , la sua derivata è zero quando esiste, cioè per tutti i valori che non sono interi.
• Se ${\displaystyle x}$ è un numero reale e ${\displaystyle n}$ un intero, si ha ${\displaystyle n\leq x}$ se e solo se ${\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor .}$ In linguaggio ricercato, la funzione parte intera fa parte di una connessione di Galois; è l'aggiunta superiore della funzione che immerge gli interi nei reali.
• Usando la funzione floor, si possono produrre diverse formule per calcolare i numeri primi che sono esplicite ma non utilizzabili nella pratica.
• Il teorema di Beatty afferma che ogni numero irrazionale partiziona i numeri naturali in due sequenze tramite la funzione floor.

Una funzione strettamente correlata è la parte intera superiore, nota anche come funzione ceil (dalla parola inglese ceiling che significa "soffitto", contrapposta a floor, "pavimento"), definita nel modo seguente: per ogni numero reale ${\displaystyle x}$, ceil(${\displaystyle x}$) è il più piccolo intero non minore di ${\displaystyle x}$. Per esempio, ceil(2,3) = 3, ceil(2) = 2 e ceil(−2,3) = -2. La funzione ceiling è anche indicata con ${\displaystyle \lceil x\rceil }$. È facile provare che

${\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }$

e che

${\displaystyle x\leq \lceil x\rceil <x+1.}$

Se poi x non è un intero si ha

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =1.}$

Per ogni intero k, abbiamo anche che:

${\displaystyle \lfloor k/2\rfloor +\lceil k/2\rceil =k.}$

Se m e n sono interi positivi primi fra di loro, allora

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2.}$

Se ${\displaystyle x}$ è un numero irrazionale, allora le parti frazionarie ${\displaystyle nx{\bmod {1}}}$, dove ${\displaystyle n}$ varia fra gli interi positivi, sono distribuite uniformemente nell'intervallo aperto ${\displaystyle (0,1)}$. Questa affermazione può essere resa più precisamente in molti modi, uno dei quali afferma:

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(t)\;dt=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(nx{\bmod {1}}),}$

per ogni funzione continua a valori reali ${\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ (si vedano limite, integrale e teorema dell'equidistribuzione).

Seguendo il principio generale dell'approssimazione diofantea scoperto da Hermann Weyl, questa proprietà è equivalente a qualcosa che è molto più facile da controllare: ossia che le somme

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{N}e^{2\pi iknx},}$

per ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ sono O(N). Poiché sono progressioni geometriche, questo può essere provato in maniera abbastanza diretta. La condizione che ${\displaystyle x}$ sia irrazionale implica che

${\displaystyle \sin(\pi kx)\neq 0.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Troncamento (matematica).

Mentre la funzione parte intera genera solamente numeri interi, il troncamento, cioè il "tagliare fuori le cifre", può essere effettuato a qualsiasi posizione specificata, non solo dopo la cifra delle unità.

Le funzioni parte intera superiore e inferiore sono normalmente indicate con parentesi quadre, chiuse e aperte, in cui le linee orizzontali superiori (per la funzione parte intera inferiore, floor) o inferiori (per la funzione parte intera superiore, ceiling) sono mancanti. Per esempio nel sistema di composizione editoriale LaTeX questi simboli possono essere realizzati con i comandi \lfloor, \rfloor, \lceil e \rceil.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su floor e ceiling

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