Teorema della convergenza monotona

In matematica, per teorema della convergenza monotona si identificano diversi teoremi relativi alla convergenza di successioni o serie.

Nel caso di successioni di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ è una successione monotona di numeri reali, allora la successione converge se e solo se è limitata.

La dimostrazione del fatto che se una successione monotona converge allora essa è limitata, viene dal fatto che ogni successione convergente è limitata (i dettagli della dimostrazione sono indicati qui).

L'implicazione inversa, cioè che se una successione monotona è limitata allora essa converge, si dimostra nel modo seguente: prendiamo una successione monotona crescente (nel caso di successioni decrescenti la dimostrazione è analoga) e chiamiamo ${\displaystyle I}$ l'immagine della successione ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ . La limitatezza fa sì che esista finito un elemento

${\displaystyle s=\sup I}$

tale che per ogni elemento della successione vale ${\displaystyle s_{n}\leq s}$. Scelto un ${\displaystyle \varepsilon >0}$ arbitrario, esiste un indice ${\displaystyle N>0}$ tale che

${\displaystyle s-\varepsilon <s_{N}\leq s}$

perché ${\displaystyle s-\varepsilon }$ non è maggiorante di ${\displaystyle I}$. Se quindi scegliamo un indice ${\displaystyle n\geq N}$, la monotonia della successione implica ${\displaystyle s_{n}\geq s_{N}}$ e quindi vale

${\displaystyle s-\varepsilon <s_{n}\leq s.}$

Dall'arbitrarietà di ${\displaystyle \varepsilon }$ segue la convergenza di ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ a ${\displaystyle s}$.

Nel caso di serie di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se per ogni coppia di numeri naturali j e k il numero ${\displaystyle a_{j,k}}$ è reale e non negativo e ${\displaystyle a_{j,k}\leq a_{j+1,k}}$, allora:^[1]

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}}$

Nel caso di successioni di funzioni, il teorema della convergenza monotona, anche detto teorema di Beppo Levi, afferma che se ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ è uno spazio di misura e ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ una successione di funzioni misurabili su ${\displaystyle \Sigma }$ tale che:

${\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \dots \leq \infty \quad \forall x\in X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)\quad \forall x\in X}$

allora ${\displaystyle f}$ è misurabile in ${\displaystyle \Sigma }$ e:^[2]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu \ }$

dove l'integrale è di Lebesgue. Si noti che il valore di ogni integrale può essere infinito.

Sia ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ una successione non decrescente di funzioni misurabili non negative e si ponga:

${\displaystyle f=\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}$

Per la proprietà di monotonìa dell'integrale, è immediato vedere che:

${\displaystyle \int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu }$

Si vuole provare la diseguaglianza nell'altra direzione, cioè:

${\displaystyle \int fd\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}d\mu }$

Dalla definizione di integrale segue che esiste una successione non decrescente ${\displaystyle g_{n}}$ di funzioni semplici non negative che convergono puntualmente a ${\displaystyle f}$ quasi ovunque e tali che:

${\displaystyle \lim _{k}\int g_{k}d\mu =\int fd\mu }$

Perciò basta provare che per ogni ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ si ha:

${\displaystyle \int g_{k}d\mu \leq \lim _{j}\int f_{j}d\mu }$

Si vuole provare che se ${\displaystyle g}$ è una funzione semplice e:

${\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g(x)}$

quasi ovunque, allora:

${\displaystyle \lim _{j}\int f_{j}d\mu \geq \int gd\mu }$

Spezzando la funzione ${\displaystyle g}$ nelle sue parti a valori costanti, questo si riduce al caso in cui ${\displaystyle g}$ è la funzione indicatrice di un insieme. Il risultato che si vuole provare è il seguente. Si supponga che ${\displaystyle A}$ sia un insieme misurabile e ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ sia una successione non descrescente di funzioni misurabili su ${\displaystyle A}$ tali che:

${\displaystyle \lim _{n}f_{n}(x)\geq 1}$

per quasi tutti gli ${\displaystyle x\in A}$. Allora:

${\displaystyle \lim _{n}\int f_{n}d\mu \geq \mu (A)}$

Per provare questo risultato si fissi ε > 0 e si definisca la successione di insiemi misurabili:

${\displaystyle B_{n}=\{x\in A:f_{n}(x)\geq 1-\varepsilon \}}$

Per la monotonìa dell'integrale, segue che per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ si ha:

${\displaystyle \mu (B_{n})(1-\varepsilon )=\int (1-\varepsilon )1_{B_{n}}d\mu \leq \int f_{n}d\mu }$

Per ipotesi:

${\displaystyle \bigcup _{i}B_{i}=A}$

a meno di un insieme di misura 0. Quindi per l'addittività numerabile di ${\displaystyle \mu }$ :

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\varepsilon )^{-1}\int f_{n}d\mu }$

Poiché questo è vero per ogni ε positivo, segue la tesi.

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Teorema della convergenza dominata
• Lemma di Fatou

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della convergenza monotona, su MathWorld, Wolfram Research.

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