In analisi matematica uno spazio di misura (o spazio mensurale, o spazio di Lebesgue) è una struttura astratta utilizzata per formalizzare il concetto di misura, come generalizzazione delle idee elementari di lunghezza di una curva o area di una superficie^[1].

Si definisce spazio di misura uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ dotato di una misura ${\displaystyle \mu }$ positiva definita sulla σ-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ costituita da sottoinsiemi misurabili di ${\displaystyle X}$.^[2] Un tale spazio si rappresenta con una terna ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$.

Quando lo spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ è uno spazio boreliano, talvolta lo spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ è detto spazio di misura boreliano. Dato uno spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$, in genere si denota con ${\displaystyle |\mu |}$ la variazione totale di ${\displaystyle \mu }$ su ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$.

Se ${\displaystyle |\mu |(X)<\infty }$ lo spazio di misura si dice finito. Se inoltre ${\displaystyle X}$ può scriversi come unione numerabile di insiemi:

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$

di misura finita, cioè tali che ${\displaystyle |\mu |(X_{i})<\infty }$, allora lo spazio misurabile si dice σ-finito.

Uno spazio di probabilità ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ è uno spazio di misura tale che ${\displaystyle P(E)\geq 0}$ per ogni ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ e ${\displaystyle P(\Omega )=1}$. In questo contesto ${\displaystyle P}$ è detta misura di probabilità. Dalla definizione stessa, segue che uno spazio di probabilità è sempre uno spazio di misura finita.

La struttura di spazio di probabilità è stata introdotta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov negli anni trenta, nell'ambito di una serie di lavori del matematico russo che hanno posto i fondamenti dell'intera teoria della probabilità.

Uno spazio di misura si dice completo se ogni insieme contenuto in un insieme nullo è misurabile (avendo ovviamente in questo caso misura nulla). In generale, da un punto di vista pratico, è conveniente utilizzare spazi completi.^[3] Tuttavia, dato uno spazio di misura non completo, è sempre possibile estenderlo ad uno spazio completo nel seguente senso.

Sia ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ uno spazio di misura. Esiste un unico spazio di misura completo ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}}^{\prime },\mu ^{\prime })}$, detto completamento di ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$, sullo stesso insieme ${\displaystyle X}$ con le seguenti proprietà:

1. la σ-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ è più fine (cioè contiene) ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$.
2. la misura ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$ ristretta ad ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ coincide con ${\displaystyle \mu }$, ossia per ogni sottoinsieme misurabile di ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$ accade ${\displaystyle \mu (E)=\mu ^{\prime }(E)}$.
3. se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {G}},\nu )}$ è un altro spazio con tale proprietà, allora ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ è più fine di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ (o equivalentemente, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ è la meno fine tra tutte le σ-algebre su cui sia possibile effettuare tale costruzione).

Evidentemente, se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ è completo, esso coincide col suo completamento. In generale è possibile costruire in maniera esplicita il completamento di uno spazio non completo. Ne illustriamo qui la procedura.

Consideriamo l'insieme ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ di tutti gli insiemi contenuti in insiemi nulli (tali insiemi sono talvolta detti trascurabili). Sia ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }=\sigma \left({\mathfrak {N}}\bigcup {\mathfrak {F}}\right)}$ la più piccola σ-algebra contenente sia gli elementi di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ che quelli di ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$^[4]. Poiché l'unione e l'intersezione numerabili di insiemi trascurabili è trascurabile, si vede facilmente che ogni elemento ${\displaystyle E^{\prime }}$ di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ può essere ottenuto da un elemento ${\displaystyle E}$ di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ unendovi o sottraendovi un insieme trascurabile. Sarà allora sufficiente estendere ${\displaystyle \mu }$ ad una nuova misura su ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}}^{\prime })}$ semplicemente ponendo ${\displaystyle \mu ^{\prime }(E^{\prime }):=\mu (E)}$.

Un caso notevole, è quello dello spazio di misura di Lebesgue (il secondo esempio sopra), che è il completamento dello spazio di Borel (il primo esempio sopra).

L'insieme degli spazi di misura forma una categoria, dove i morfismi sono dati dalle funzioni misurabili che conservano la misura. Più precisamente, dati due spazi di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$, ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}},\nu )}$ un morfismo è naturalmente associato ad una funzione ${\displaystyle f:X\mapsto Y}$ tale che:

• ${\displaystyle f}$ sia ${\displaystyle ({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})}$-misurabile^[5].
• Per ogni insieme ${\displaystyle F\in {\mathfrak {G}}}$ accade ${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(F)\right)=\nu (F)}$.

In particolare, i due spazi di misura si diranno isomorfi se esiste una funzione biiettiva ${\displaystyle f:X\mapsto Y}$ misurabile e con inversa misurabile, tale che per ogni ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$ accada ${\displaystyle \mu (E)=\nu (f(E))}$.

Dato uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$, e due misure ${\displaystyle \mu ,\nu }$ su di esso, ${\displaystyle \nu }$ si dice assolutamente continua rispetto a ${\displaystyle \mu }$ se ogni insieme ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$ che ha misura nulla rispetto a ${\displaystyle \mu }$ ha misura nulla anche rispetto a ${\displaystyle \nu }$: ${\displaystyle \mu (E)=0\Rightarrow \nu (E)=0}$ Due misure assolutamente continue l'una rispetto all'altra si dicono equivalenti.

Dal teorema di Radon-Nikodym si può allora dedurre la seguente preposizione: siano ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ e ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\nu )}$ due spazi di misura σ-finiti costruiti sopra il medesimo spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$. Se ${\displaystyle \mu ,\,\nu }$ sono equivalenti, allora i due spazi sono isomorfi.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della misura e Sistema dinamico conservativo.

• Naturalmente, l'applicazione più naturale della nozione di spazio di misura si ha proprio nella teoria della misura, in quanto essa costituisce un oggetto fondamentale di tale teoria.

• Se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ è uno spazio misurabile ed ${\displaystyle S}$ un semigruppo, un'azione misurabile di ${\displaystyle S}$ su ${\displaystyle X}$ è una famiglia (indicizzata dal parametro ${\displaystyle s\in S}$) di mappe misurabili ${\displaystyle T_{s}:X\mapsto X}$ tali che ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{st}}$ per ogni ${\displaystyle s,t\in S}$. Un sistema dinamico conservativo è una quadrupla ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu ,S)}$, dove ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ è uno spazio di misura, e ${\displaystyle T}$ è un'azione misurabile di un semigruppo ${\displaystyle S}$ su ${\displaystyle X}$, che conserva la misura: ${\displaystyle \mu \left(T_{s}^{-1}(E)\right)=\mu (E)}$ per ogni ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}},\,s\in S}$. La teoria dei sistemi dinamici conservativi è -nonostante la sua generalità- molto ricca. Da essa si possono ad esempio derivare con semplicità e generalità molte delle proprietà della meccanica classica. Infatti, i sistemi hamiltoniani rientrano nella classe dei sistemi dinamici conservativi.

• La terna ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}},\mu )}$, dove ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è la retta reale, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ è la relativa σ-algebra boreliana, e ${\displaystyle \mu }$ è la misura di Borel è uno spazio di misura boreliano. Questo non è uno spazio finito, in quanto la misura (in questo caso lunghezza) dell'intera retta reale è infinita. Tuttavia tale spazio è σ-finito, in quanto ogni intervallo del tipo ${\displaystyle [n,n+1]}$ ha misura ${\displaystyle 1}$, ed ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n}[n,n+1]}$.
• La terna ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {L}},\lambda )}$, dove ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ è la σ-algebra di Lebesgue, e ${\displaystyle \lambda }$ è la misura di Lebesgue è uno spazio di misura non boreliano. Questo spazio di misura è pure σ-finito, per la stessa motivazione data sopra.
• Lo spazio discreto ${\displaystyle \Omega =\{1,\ldots ,n\}}$, con la convenzione che ogni sottoinsieme di ${\displaystyle \Omega }$ è misurabile e la misura di un sottoinsieme è data da ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}}}$, è uno spazio di probabilià.
• Se ${\displaystyle \Omega }$ è uno spazio di misura finita, allora si può ottenere uno spazio di probabilità introducendo la misura ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}}$.

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.

• Donald L. Cohn, Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0.

• Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.

• Algebra di Borel
• Algebra di Baire
• Funzione misurabile
• Insieme misurabile
• Sigma-algebra
• Spazio misurabile
• Teoria della misura
• Teoria della probabilità

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di misura, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spazio di misura, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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