Teorema delle funzioni implicite

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In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.

Nella letteratura italiana, il teorema è generalmente detto teorema di Dini in onore del matematico Ulisse Dini, che contribuì ad estenderne la formulazione.[1]

Il teorema di Dini

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Il teorema di Dini stabilisce che una funzione reale di classe di due variabili del tipo:

definisce implicitamente un'unica funzione del tipo:

in un intorno di un punto tale che (esplicitando rispetto alla variabile y):[2]

Il teorema di Dini fornisce quindi una condizione sufficiente affinché esista un'unica funzione tale che

sia soddisfatta al variare di , oppure un'unica funzione tale che

sia soddisfatta al variare di .

Questo non significa che sia possibile esplicitare una delle due incognite in funzione dell'altra, ossia che sia possibile trovare oppure in forma esplicita, ma mostra piuttosto che esiste almeno una delle due funzioni, detta funzione implicita.

Se ci si limita all'individuazione di particolari tipi di funzione, ad esempio quelle continue e definite su un intervallo, si può dimostrare anche la loro unicità, il che sancisce un'equivalenza formale tra la scrittura implicita e quella esplicita oppure . Ad esempio, l'equazione:

ben definisce un'unica funzione continua definita per ogni reale, che tuttavia non può essere scritta esplicitamente.

Sia una funzione a valori reali, differenziabile e le cui derivate parziali prime siano funzioni continue. Sia inoltre tale che:

Il teorema afferma che esiste una funzione derivabile reale:

la cui derivata prima sia continua. Inoltre, il grafico di è l'insieme delle coppie:

che sono contenute nel rettangolo:

Il teorema in due dimensioni

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Si consideri una funzione di classe C1 definita su un insieme aperto , e si consideri l'insieme:

Se è non vuoto esiste un punto tale che:

Il teorema afferma che se non è un punto critico, ossia:

allora esiste un intorno di tale che l'insieme è il grafico di una funzione derivabile.

Questo equivale a dire che esiste un'unica funzione del tipo o del tipo che mette in relazione le due incognite e . Si noti che questo non significa che è davvero possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell'altra, ma solo che l'equazione definisce implicitamente un legame tra le due incognite che è univoco.

Sia una funzione di classe nell'aperto e sia tale che:

Allora esistono un intervallo reale aperto , con , un intervallo reale aperto , con , ed una funzione di classe in a valori in tali che:

e tali che per ogni la relazione:

si verifica se e solo se:

Scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione .

Dimostrazioni

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Prima dimostrazione

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Sia data una funzione continua di classe in tale che in tutti i punti tali che , cioè nella curva di livello:

Sia un punto di e si consideri il relativo sviluppo al primo ordine di Taylor:

Tenendo conto che , uguagliando a zero la prima parte del termine al primo ordine si ottiene:

Per ipotesi, tale equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, e si può porre . Si può quindi ricavare in funzione di :

Il teorema mostra che l'errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell'altra.

La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine:

Seconda dimostrazione (teorema delle contrazioni)

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Sia data una funzione continua di classe nell'aperto tale che per si abbia

Sia definita la funzione

Allora e per . Dunque trovare gli zeri di si riduce a trovare il punto fisso della funzione .

Grazie al teorema delle contrazioni sappiamo che, definito

Siccome , è facile dimostrare che sia uno spazio metrico completo, allora

Sia una contrazione tale che

ci basta dimostrare che sia ben definita, cioè che . Questa deve avere le seguenti proprietà:

  1. è continua in

La prima è ovvia siccome l'operatore è composizione di funzioni continue. La seconda può essere dimostrata tramite una catena di disuguaglianze:

dove si è applicato il teorema di Lagrange ed il fatto che

Ora basta dimostrare che sia una contrazione:

Il teorema in più dimensioni

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Sia una funzione di classe , dove è il prodotto cartesiano i cui elementi sono del tipo . Sia inoltre un punto tale che .

Data la matrice jacobiana di in :

si supponga che sia invertibile.

Il teorema delle funzioni implicite afferma che vi sono due insiemi aperti e contenenti rispettivamente e tali che per ogni esiste un unico che soddisfa e . Inoltre, la funzione tale che è una funzione di classe tale che:[3]

dove è la jacobiana di in . La relazione:

definisce implicitamente .

Il teorema stabilisce quindi che il sistema :

può essere risolto esplicitando in funzione di in un intorno di se il sistema è risolvibile in e se è invertibile.[4] Le soluzioni così trovate sono inoltre funzioni di classe . Il teorema può essere generalizzato al caso di funzioni analitiche.

Il teorema si estende anche agli spazi di Banach.

  1. ^ Steven Krantz e Harold Parks, The Implicit Function Theorem, Modern Birkhauser Classics, Birkhauser, 2003, ISBN 0-8176-4285-4.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 225.
  3. ^ W. Rudin, Pag. 226.
  4. ^ W. Rudin, Pag. 227.
  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini, Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale, Apogeo Editore, 2008, ISBN 8850324235.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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