In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Legendre.

L'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per ${\displaystyle |x|<1}$. Si hanno soluzioni convergenti anche per ${\displaystyle x=\pm 1}$ purché ${\displaystyle n}$ sia un intero non negativo. In tal caso le soluzioni al variare di ${\displaystyle n}$ formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ha grado ${\displaystyle n}$ e può essere espresso mediante la formula di Rodriguez:

${\displaystyle P_{n}(x)=(2^{n}n!)^{-1}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ rispetto al prodotto interno L²:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}$

Qui ${\displaystyle \delta _{mn}~}$ denota la delta di Kronecker, uguale a ${\displaystyle 1}$ se ${\displaystyle m=n}$ e uguale a ${\displaystyle 0}$ in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram-Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\ldots \right\}}$ e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per ${\displaystyle (2n)! \over {2^{n}(n!)^{2}}}$ con ${\displaystyle n=0,1,\ldots }$ che indica l'${\displaystyle n}$-esimo polinomio di Legendre.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=1;\\P_{1}(x)&=x;\\P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1);\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x);\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3);\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x);\\P_{6}(x)&={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5).\end{aligned}}}$

• (EN) Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Mineola, Dover Publications, 1972. (V. cap. 8 e cap. 22.)
• (EN) Byerly, William Elwood (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics (cap. I e cap. V)
• (EN) Todhunter, Isaac (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, MacMillan (v. pp. 7-117)
• (DE) Heine, Eduard (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte), Reimer
• (DE) Heine, Eduard (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte), Reimer

• Polinomi ortogonali
• Funzioni associate di Legendre

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su polinomio di Legendre

• (EN) Eric W. Weisstein, Polinomio di Legendre, su MathWorld, Wolfram Research.
• http://www.octave.org I polinomi di Legendre, come i polinomi associati, possono essere calcolati numericamente mediante funzione legendre del programma GNU Octave (distribuito con la licenza GPL nel modulo contribuito octave-forge/specfun di octave v. 2.1.35 o successive
• https://www.gnu.org/software/gsl/gsl.html

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