I polinomi associati di Legendre sono polinomi definibili direttamente a partire dai polinomi di Legendre, il cui impiego è particolarmente utile nella descrizione delle armoniche sferiche e quindi nella loro applicazione in meccanica quantistica.

Sia ${\displaystyle l}$ un intero naturale, ${\displaystyle P_{l}(u)}$ il polinomio di Legendre di ordine ${\displaystyle l}$ ed ${\displaystyle m}$ un intero compreso tra ${\displaystyle 0}$ ed ${\displaystyle l}$. Si definiscono le funzioni associate di Legendre come:

${\displaystyle P_{lm}(u)=(1-u^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{du^{m}}}P_{l}(u)}$

ovvero

${\displaystyle P_{lm}(u)={\frac {(-1)^{l}}{2^{l}l!}}(1-u^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{l+m}}{du^{l+m}}}(1-u^{2})^{l}}$

Si estende la definizione a valori negativi del secondo indice tramite l'espressione

${\displaystyle P_{l,-m}(u)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{lm}(u)}$

che conduce a

${\displaystyle P_{lm}(u)=(-1)^{l+m}{\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {(1-u^{2})^{-{\frac {m}{2}}}}{2^{l}l!}}{\frac {d^{l-m}}{du^{l-m}}}(1-u^{2})^{l}}$

Queste definizioni permettono poi di esprimere le armoniche sferiche in funzione delle funzioni associate tramite la relazione

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{m}}\left\{{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}\right\}^{\frac {1}{2}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\varphi }}$

per valori positivi di ${\displaystyle m}$. Le armoniche sferiche con valori di ${\displaystyle m}$ negativi sono tutte a coefficiente positivo (senza considerare quindi il comportamento del Polinomio di Legendre e della funzione esponenziale) e si ottengono dalla seguente relazione

${\displaystyle Y_{l}^{-m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{m}}(Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi ))^{*}}$

Ne consegue quindi che per valori di ${\displaystyle m}$ negativi le armoniche sferiche sono identiche alle stesse con ${\displaystyle m}$ positivi fuorché in alcuni aspetti:

1) il segno del coefficiente è sempre positivo, anziché a segni alterni, poiché il termine ${\displaystyle (-1)^{m}}$ nell'armonica sferica moltiplica lo stesso ${\displaystyle (-1)^{m}}$ presente nella relazione sopra;

2) la funzione esponenziale ha il segno dell'esponente invertito, perché si richiede il complesso coniugato dell'armonica sferica. Ciò non grava sul polinomio di Legendre perché esso è a variabile reale.

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• Legendre Polynomial in MathWorld