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In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, lo spazio ${\displaystyle L^{p}}$ è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio ${\displaystyle l^{p}}$. In particolare, lo spazio l² delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.

Gli spazi ${\displaystyle L^{p}}$, con ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, sono spazi di Banach. In particolare, ${\displaystyle L^{2}}$ è anche uno spazio di Hilbert.

Sia ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ uno spazio di misura e sia ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Sia inoltre ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$ una funzione misurabile. Si distinguono i seguenti due casi.

Si definisce norma p-esima o norma ${\displaystyle L^{p}}$ di ${\displaystyle f}$ il numero

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}.}$

Valgono le seguenti due proprietà: l'omogeneità rispetto al prodotto per scalare,

${\displaystyle \|\lambda f\|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p},}$

e la disuguaglianza triangolare,

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$

Lo spazio ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathfrak {M}},\mu )=\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ misurabili}}:\Vert f\Vert _{p}<\infty \}}$ delle funzioni misurabili con norma ${\displaystyle L^{p}}$ finita, indicato anche come ${\displaystyle L^{p}(X)}$, ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ o solo ${\displaystyle L^{p}}$ risulta essere, per le suddette proprietà della norma ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{p}}$, uno spazio vettoriale reale.^[1] Le funzioni in ${\displaystyle L^{p}}$ si dicono a p-esima potenza sommabile.^[2] In particolare, dalla disuguaglianza triangolare segue che la somma di due o più funzioni ${\displaystyle p}$-sommabili è ancora ${\displaystyle p}$-sommabile. A rigore, la norma ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{p}}$ è una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per rendere ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{p}}$ una norma si definisce ${\displaystyle f=g}$ se ${\displaystyle \Vert f-g\Vert _{p}=0}$, cioè due funzioni sono equivalenti se sono uguali quasi ovunque. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio ${\displaystyle L^{p}}$. Poiché tale norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.

Se ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$ è una funzione misurabile, allora definiamo la sua norma del sup essenziale o norma infinito

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ quasi ovunque}}{\big \}},}$

con la convenzione ${\displaystyle \inf \emptyset =+\infty }$. Se definiamo

${\displaystyle L^{\infty }(X)=\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ misurabili}}:\Vert f\Vert _{\infty }<\infty \},}$

e come sopra definiamo come equivalenti due funzioni quasi ovunque uguali, ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }}$ è una norma su ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$ che risulta essere uno spazio di Banach.

La norma infinito non va confusa con la norma uniforme, e per questo a volte si preferisce usare la notazione

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }={\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert .}$

Tale ambiguità si giustifica osservando che se ${\displaystyle f\in L^{\infty }}$ allora esiste un insieme di misura nulla ${\displaystyle E\subset X}$ tale che

${\displaystyle {\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert ={\text{sup}}_{X\setminus E}\,\vert f\vert .}$

Il nome di "norma infinito" deriva dal fatto che se ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ e ${\displaystyle f\in L^{p}\cap L^{\infty }}$, allora

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }=\lim _{p\rightarrow +\infty }\Vert f\Vert _{p}.}$

Gli spazi ${\displaystyle L^{p}}$ possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio ${\displaystyle L^{p}}$ può essere indicato con ${\displaystyle L^{p}(X,\mathbb {C} )}$. Una generalizzazione più accentuata considera funzioni a valori in un generico spazio di Banach ${\displaystyle E}$. In tal caso, la norma p-esima è definita come

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}\|f(x)\|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}},}$

dove l'integranda è la potenza p-esima della norma dello spazio ${\displaystyle E}$. Similmente, si generalizza la norma del sup essenziale.

Consideriamo lo spazio di misura ${\displaystyle (\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\mu )}$, con ${\displaystyle \mu (A)=\#A}$ la misura del conteggio. Si denota con ${\displaystyle \ell ^{p}}$ lo spazio ${\displaystyle L^{p}}$ associato a tale spazio di misura, ovvero l'insieme delle successioni ${\displaystyle x=\{\xi _{n}\}}$ tali che

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|\xi _{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Vi sono tre casi particolarmente importanti:

• ${\displaystyle \ell ^{1}}$ è lo spazio delle successioni la cui serie converge assolutamente;
• ${\displaystyle \ell ^{2}}$ è lo spazio delle successioni a quadrato sommabili;
• ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ è lo spazio delle successioni limitate.

Lo spazio ${\displaystyle \ell ^{p}}$ è uno spazio di Banach e, per ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, separabile.

Nel seguito si espongono le principali proprietà che caratterizzano gli spazi ${\displaystyle L^{p}}$.

Nello spazio ${\displaystyle L^{2}(X,\mathbb {C} )}$ delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto interno:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)dx}$

e quindi ${\displaystyle L^{2}}$ è uno spazio di Hilbert. Il caso ${\displaystyle p=2}$ è molto particolare, dal momento che ${\displaystyle L^{2}}$ è l'unico spazio di Hilbert tra gli spazi ${\displaystyle L^{p}}$.

Se ${\displaystyle 1<p<\infty }$ allora lo spazio duale continuo di ${\displaystyle L^{p}}$, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a ${\displaystyle L^{q}}$, dove ${\displaystyle q}$ è tale che:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Usando la notazione di Dirac, tale isomorfismo canonico associa a ${\displaystyle f\in L^{q}}$ il funzionale

${\displaystyle \langle f\vert g\rangle =\int _{X}{\bar {f}}g\;{\mbox{d}}\mu .}$

Poiché la relazione ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ è simmetrica allora ${\displaystyle L^{p}}$ è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di ${\displaystyle L^{p}}$, detto spazio biduale, è isometrico a ${\displaystyle L^{p}}$.

Per ${\displaystyle p=1}$ il duale di ${\displaystyle L^{1}}$ è isomorfo a ${\displaystyle L^{\infty }}$ nel caso in cui ${\displaystyle X}$ sia uno spazio ${\displaystyle \sigma }$-finito. Non è valido il viceversa: il duale di ${\displaystyle L^{\infty }}$ è uno spazio vettoriale "più grande" di ${\displaystyle L^{1}}$ e per questo motivo ${\displaystyle L^{1}}$ non è riflessivo. Ad esempio, sia ${\displaystyle f\mapsto \langle f\vert }$ l'immersione canonica di ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ nel duale di ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$. Osserviamo che l'applicazione ${\displaystyle g\mapsto g(0)}$, con ${\displaystyle g\in L^{\infty }}$, appartiene al duale continuo di ${\displaystyle L^{\infty }}$. Supponiamo, per assurdo, che esista una funzione ${\displaystyle \delta \in L^{1}}$ tale che ${\displaystyle \langle \delta \vert g\rangle =g(0)}$ per ogni ${\displaystyle g\in L^{\infty }}$. Notiamo che per ogni ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \langle \delta \vert 1\rangle =\langle \delta \vert {\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}\rangle =1.}$

Tuttavia, per il teorema della convergenza dominata

${\displaystyle 1=\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{\mathbb {R} }{\bar {\delta }}(x){\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}(x)dx=0.}$

Si ottiene così un assurdo.

Il duale di ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ è uno spazio un po' più difficile da definire. Si dimostra che se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ è uno spazio di misura allora il duale di ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ è isomorfo allo spazio di tutte le misure finitamente additive e assolutamente continue rispetto a ${\displaystyle \mu }$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Disuguaglianza di Hölder.

Siano ${\displaystyle p>1}$ e ${\displaystyle p'>1}$ due esponenti coniugati, ovvero due numeri reali tali che

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.}$

Se ${\displaystyle p=1}$ allora per convenzione ${\displaystyle p'=\infty }$. Se ${\displaystyle f\in L^{p}}$ e ${\displaystyle g\in L^{p'}}$ allora ${\displaystyle fg\in L^{1}}$ e^[3]

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}.}$

Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente

${\displaystyle \int _{X}fgd\mu \leq \left[\int _{X}f^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{X}g^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}.}$

Rispetto alla misura di Lebesgue lo spazio ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, con ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, è separabile. Ad esempio, se ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ è una base numerabile di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ allora un suo sottoinsieme numerabile denso è costituito dall'insieme delle funzioni del tipo

${\displaystyle s(x)=\sum _{j=i}^{n}a_{j}\chi _{B_{j}}(x)}$

con ${\displaystyle a_{j}\in \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle B_{j}\in {\mathcal {B}}}$.

Lo spazio ${\displaystyle L^{\infty }}$ non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di ${\displaystyle X}$ è infinita.

Si può provare, sfruttando la disuguaglianza di Hölder, che se la misura di ${\displaystyle X}$ è finita allora al crescere di ${\displaystyle p}$ lo spazio ${\displaystyle L^{p}}$ "decresce", ovvero ${\displaystyle L^{p}\supset L^{q}}$ per ogni ${\displaystyle p<q\leq \infty }$. Infatti se ${\displaystyle q=\infty }$ allora

${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}^{p}=\int _{X}\vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\int _{X}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\mu (X),}$

mentre se ${\displaystyle q<+\infty }$ allora per Hölder

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert f\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}1\cdot \vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert \,\vert f\vert ^{p}\Vert _{q/p}\Vert 1\Vert _{q/(q-p)}\\&=\Vert f\Vert _{q}^{p}\mu (X)^{(q-p)/q}\end{aligned}}.}$

Per esempio, la funzione

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}}$

appartiene ${\displaystyle L^{p}{\bigl (}(0,1){\bigr )}}$ per ogni ${\displaystyle p<2}$. Segue inoltre, dalle disuguaglianze sopra esibite, che l'inclusione di ${\displaystyle L^{q}}$ in ${\displaystyle L^{p}}$ è una funzione continua.

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, New York, John Wiley & Sons, 1999, ISBN 978-0-471-31716-6.
• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 8820715015.

• Convoluzione
• Spazio di Banach
• Spazio di Hilbert
• Spazio l2
• Spazio delle successioni
• Spazio vettoriale quoziente
• Trasformata di Fourier

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