Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\infty ,}$

dove la variabile ${\displaystyle p}$ indica un numero primo.

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.

Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e,}$

per ogni ${\displaystyle n}$ intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene

${\displaystyle n\,\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<1,}$

da cui

${\displaystyle \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<{\frac {1}{n}}}$

e infine

${\displaystyle \ln \left(n+1\right)-\ln \left(n\right)<{\frac {1}{n}}.}$

Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a ${\displaystyle n}$ si ricava

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}>\sum _{k=1}^{n}\left(\ln \left(k+1\right)-\ln \left(k\right)\right)=\ln \left(n+1\right).}$^[1]

Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.

Adesso definiamo il prodotto ${\displaystyle P}$ come

${\displaystyle P\left(x\right)=\prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}.}$

Sapendo che

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}=1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}+\ldots }$^[2]

si ricava

${\displaystyle P\left(x\right)=\sum _{n\in A\left(x\right)}{\frac {1}{n}},}$

dove l'insieme ${\displaystyle A}$ è definito come

${\displaystyle A\left(x\right)=\lbrace n:p|n\Longrightarrow p\leq x\rbrace .}$

Evidentemente se ${\displaystyle n\leq x}$ allora ${\displaystyle n\in A\left(x\right)}$ quindi

${\displaystyle P\left(x\right)>\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}}$

e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava

${\displaystyle P\left(x\right)>\ln \left(x+1\right).}$

Adesso sapendo che ${\displaystyle y>-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-y\right)}$ per ogni ${\displaystyle 0<y<{\frac {1}{2}}}$ si ottiene

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}>-{\frac {1}{2}}\sum _{p\leq x}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {1}{2}}\ln P\left(x\right)>{\frac {1}{2}}\ln \ln x,}$

dove l'ultimo membro diverge per ${\displaystyle x}$ tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:

${\displaystyle S=\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}-\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di ${\displaystyle \ln(1-x)}$:

${\displaystyle S=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right).}$

I termini ${\displaystyle {\frac {1}{3p}},}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4p^{2}}},}$ ecc., possono essere maggiorati come:

${\displaystyle S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right).}$

Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi

${\displaystyle S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+C.}$

Poiché la somma ${\displaystyle S}$ cresce come ${\displaystyle \ln \ln {n}}$ per ${\displaystyle n}$ tendente all'infinito, Eulero concluse che

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\approx \ln \ln {n}.}$

La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.

Per assurdo sia ${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}<\infty }$ allora esiste un numero primo ${\displaystyle P}$ tale che ${\displaystyle \sum _{p>P}{\frac {1}{p}}<1/2}$.

Sia ${\displaystyle N>P}$ un intero arbitrario, indichiamo con ${\displaystyle N_{1}}$ il numero di interi minori o uguali a ${\displaystyle N}$ che hanno solo fattori primi minori o uguali a ${\displaystyle P}$, indichiamo anche ${\displaystyle N_{2}=N-N_{1}}$. Abbiamo che

${\displaystyle N_{2}\leq \sum _{p\geq P}\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor <\sum _{p\geq P}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}.}$

Ora stimiamo ${\displaystyle N_{1}}$, scriviamo ${\displaystyle k=\pi (P)}$, ogni ${\displaystyle x\leq N}$ si può scrivere nella forma

${\displaystyle x=yz^{2},}$

dove ${\displaystyle y}$ è privo di quadrati e ${\displaystyle z\leq {\sqrt {N}}}$, se ${\displaystyle x}$ è divisibile solo per i primi minori o uguali a ${\displaystyle P}$, allora lo è anche ${\displaystyle y}$. Ci sono meno di ${\displaystyle 2^{k}}$ possibili scelte per ${\displaystyle y}$ e meno di ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ scelte per ${\displaystyle z}$, da cui

${\displaystyle N_{1}\leq 2^{k}{\sqrt {N}}}$

e quindi

${\displaystyle N<2^{k}{\sqrt {N}}+{\frac {N}{2}}}$

si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha ${\displaystyle p_{n}\leq 2^{n}}$ e di conseguenza ${\displaystyle \pi (n)\geq {\frac {\ln n}{\ln 2}}}$, quindi possiamo scegliere ${\displaystyle N=2^{2k+2}>P}$ e troviamo

${\displaystyle N<2^{k}(2^{k+1})+2^{2k+1}=N}$

che è assurdo e conclude la dimostrazione.

Come nella dimostrazione precedente, notiamo che se la serie dei reciproci dei primi convergesse, allora esisterebbe ${\displaystyle k}$ tale che ${\displaystyle \sum _{m=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{m}}}<{\frac {1}{2}}}$, dove con ${\displaystyle p_{m}}$ indichiamo il ${\displaystyle m}$-esimo numero primo. Consideriamo ora il numero ${\displaystyle Q=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}$: si osserva immediatamente come ${\displaystyle 1+nQ}$ per ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ non sia divisibile dai primi ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$. Dunque, la decomposizione in fattori primi di ${\displaystyle 1+nQ}$ richiede i primi successivi a questi, ossia ${\displaystyle p_{k+1},p_{k+2},\ldots }$. Se ne deduce quindi che

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}<\sum _{t=1}^{\infty }\left(\sum _{m=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{m}}}\right)^{t}}$

poiché ogni termine della sommatoria a sinistra si può trovare sviluppando sufficientemente la doppia sommatoria a destra. Per la disuguaglianza ottenuta dall'ipotesi iniziale, segue però che

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}<\sum _{t=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}}$

e la serie a destra, geometrica di ragione ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, converge a 1, quindi per il criterio del confronto anche la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}}$ converge. Ciò è una contraddizione, poiché è immediato verificare come questa serie in realtà diverga: per il criterio di confronto tra serie e integrale, la nostra serie converge se e solo se converge il seguente integrale, ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{1+Qx}}dx}$, che però diverge, poiché

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{1+Qx}}dx=\lim _{c\rightarrow +\infty }{\frac {1}{Q}}\left[\ln(1+Qx)\right]_{1}^{c}=+\infty .}$

Quindi, come volevasi dimostrare, la serie dei reciproci dei primi diverge^[3][4].

• Serie armonica
• Teoremi di Mertens
• Teorema dei numeri primi

V · D · M Successioni e Serie
Successioni di interi	Base Progressione aritmetica · Progressione geometrica · Progressione armonica · Progressione aritmetica · Numeri quadrati · Numeri cubici · Fattoriale · Potenze di 2 · Potenze di 3 · Potenze di 10 Avanzate Successione completa · Numeri di Fibonacci · Numeri figurati · Numeri ettagonali · Numeri esagonali · Numeri di Lucas · Numeri di Pell · Numeri pentagonali · Numero poligonale · Numero triangolare
Proprietà delle successioni	Successione di Cauchy · Successione monotona · Successione alternata
Proprietà delle serie	Tendenza Serie alternata · Serie convergente · Serie divergente · Serie telescopica Convergenza Convergenza incondizionata · Convergenza assoluta · Convergenza uniforme
Serie esplicite	Convergenti 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemann zeta) Divergenti 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi) · a1 + (a1+d) + ⋯ · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (armonica) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (fattoriale alternata) · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversi dei primi)
Tipi di serie	Serie di Taylor · Serie di potenze · Serie formale di potenze · Serie di Laurent · Serie di Puiseux · Serie di Dirichlet · Serie trigonometrica · Serie di Fourier · Serie generatrice
Serie Ipergeometrica	Serie ipergeometrica generalizzata · Funzione ipergeometrica di un argomento di matrice · Serie di Lauricella · Serie modulare · Serie ipergeometrica confluente · Serie theta

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