In matematica si dice prodotto infinito relativo ad una successione di numeri reali o complessi a1, a2, a3, ... l'entità che si denota con
e che si definisce come il limite dei prodotti parziali a1a2...an per n tendente all'infinito. Il prodotto si dice convergente quando esiste un intero m tale che la successione
abbia un limite diverso da 0 e da ±∞. In caso contrario si dice che il prodotto è divergente. In questo modo un prodotto infinito convergente è nullo se e solo se si ha an=0 per un qualche n. Con tale definizione molte delle proprietà delle somme di serie infinite si possono trasformare in analoghe proprietà per i prodotti infiniti.
Se il prodotto infinito converge, allora il limite della successione an per n tendente all'infinito deve essere 1, mentre il fatto che la successione tenda a 1 non implica necessariamente che il prodotto infinito converga. Di conseguenza, per un prodotto infinito convergente, esiste m tale che per n≥m si abbia an>0. Dunque, per tali valori di n è definito il logaritmo log an e si ha
con il prodotto a primo membro che converge se e solo se la somma al secondo membro converge. Questa situazione simmetrica consente di tradurre i criteri di convergenza per le somme infinite in criteri di convergenza per i prodotti infiniti.
Per prodotti nei quali per ogni n si ha , introducendo i numeri , per i quali deve essere , si trovano le disuguaglianze
e queste mostrano che il prodotto infinito converge se e solo se converge la serie dei pn.
Prodotti infiniti notevoli
[modifica | modifica wikitesto]Gli esempi più noti di prodotti infiniti sono probabilmente dati da alcune delle formule trovate per π, come le seguenti ottenute, rispettivamente, da François Viète (v. formula di Viète) e John Wallis (v. prodotto di Wallis):
Prodotti infiniti per il seno:
Prodotto infinito per il coseno:
Rappresentazione di funzioni mediante prodotti
[modifica | modifica wikitesto]Un risultato importante sui prodotti infiniti consiste nel fatto che ogni funzione intera f (cioè ogni funzione olomorfa sull'intero piano complesso) si può fattorizzare come prodotto infinito di funzioni intere ciascuna delle quali presenta al più un singolo zero. In generale, se f presenta uno zero di ordine m nell'origine e possiede altri zeri complessi nei punti u1, u2, u3, ... (elencati con le molteplicità uguali ai loro ordini), allora
dove i λn sono interi non negativi che si possono scegliere per rendere il prodotto convergente, e φ(z) è qualche funzione analitica univocamente determinata (il che significa che il fattore che precede il prodotto non presenta zeri nel piano complesso). La precedente fattorizzazione non è unica, in quanto dipende dalla scelta dei λn e non è particolarmente elegante. Per gran parte delle funzioni, tuttavia, si trova qualche intero non negativo minimo p tale che λn = p fornisce un prodotto convergente; questo viene chiamato la rappresentazione canonica mediante prodotto. Questo p viene chiamato rango del prodotto canonico. Inoltre, se φ(z) è un polinomio, il grado di φ si dice ordine di f. Nel caso che sia p = 0, questo prende la forma
Questa può essere considerata come una generalizzazione del teorema fondamentale dell'algebra, in quanto per le funzioni polinomiali il prodotto diventa finito e la funzione φ(z) si riduce a una costante. Rappresentazioni di questo tipo sono:
funzione seno | Eulero - la formula di Wallis per π è un caso particolare di questa. | |
funzione coseno | ||
funzione Gamma | Oscar Schlömilch. |
Un altro esempio di prodotto infinito di funzioni è
funzione zeta di Riemann | Prodotto di Eulero - Qui i pn costituiscono la successione dei numeri primi. |
Si osservi che questa rappresentazione non è una rappresentazione nella forma di Weierstrass.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- E. T. Whittaker e G. N. Watson A course of modern analysis (Cambridge University Press, 1915) p. 136
- T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London: McMillan, 1917) p. 107
- E. Picard Traité d'Analyse t. 2 (Paris: Gauthier-Villars, 1893) p. 136
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Wolfram MathWorld - Infinite Product, su mathworld.wolfram.com.
- Università di Bologna - Prodotti infiniti in campo complesso (PDF), su amslaurea.unibo.it.
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