${\displaystyle e}$ (Numero di Eulero/Numero di Nepero)
Simbolo	${\displaystyle e}$
Valore	2,71828 18284 59045 23536 ... (sequenza A001113 dell'OEIS)
Origine del nome	Eulero, Nepero
Frazione continua	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (sequenza A003417 dell'OEIS)
Insieme	numeri trascendenti
Costanti correlate	Costante di Gel'fond, Costante Omega
La costante ${\displaystyle e}$ compare nella formula di Eulero, una delle identità matematiche più importanti.

In matematica il numero ${\displaystyle e}$ è una costante matematica il cui valore approssimato a 12 cifre decimali è ${\displaystyle 2{,}718281828459}$. È la base della funzione esponenziale ${\displaystyle e^{x}}$ e del logaritmo naturale. Può essere definita in vari modi, il più comune tra i quali è come limite della successione ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ al tendere di ${\displaystyle n}$ all'infinito. Insieme a pi greco ${\displaystyle (\pi )}$ è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate.

È un numero trascendente, dunque irrazionale, e tramite la formula di Eulero è legato alle funzioni trigonometriche. Il numero ${\displaystyle e}$ è chiamato numero di Eulero in ambito internazionale e numero di Nepero in Italia, pur essendo stato usato per la prima volta da Jakob Bernoulli nel tentativo di trovare un metodo per il calcolo degli interessi composti.

Il numero ${\displaystyle e}$ può essere definito in uno dei seguenti modi:

• come il valore del limite

${\displaystyle e:=\lim _{n\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n};}$

• come la serie

${\displaystyle e:=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots ,}$

dove ${\displaystyle n!}$ è il fattoriale del numero naturale ${\displaystyle n}$.

Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.

Un modo alternativo (non standard) di definire ${\displaystyle e}$ coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Nepero si può definire come il valore in ${\displaystyle x=1}$ della funzione ${\displaystyle f(x)}$ soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale ${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)}$ con condizioni iniziali ${\displaystyle f(0)=1}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Dimostrazione della irrazionalità di e e Dimostrazione della trascendenza di e.

Il numero ${\displaystyle e}$ è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione. Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza per la costante di Liouville. Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. Si presume che esso sia un numero normale.

La costante ${\displaystyle e}$ compare nella formula di Eulero, una delle più importanti identità della matematica:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\,\mathrm {sin} (x),}$

dove ${\displaystyle i}$ indica l'unità immaginaria. Il caso particolare con ${\displaystyle x=\pi }$ è noto come identità di Eulero:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0;}$

questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".

Lo sviluppo di ${\displaystyle e}$ come frazione continua infinita è espresso dalla seguente configurazione:

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\ldots ].}$

Troncando la frazione continua si ottengono le approssimazioni razionali di ${\displaystyle e}$, di cui le prime (non intere) sono ${\displaystyle 3,\ 8/3,\ 11/4,\ 19/7}$.

Il numero ${\displaystyle e}$ è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie ${\displaystyle (x,y)}$ per le quali ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$. Oltre al caso banale ${\displaystyle x=y}$, l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette ${\displaystyle x=1}$ e ${\displaystyle y=1}$. Tale curva e la retta ${\displaystyle y=x}$ si intersecano nel punto ${\displaystyle (e,e)}$. Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice ${\displaystyle x}$-esima di ${\displaystyle x}$, ovvero ${\displaystyle x^{\frac {1}{x}}}$, ha massimo per ${\displaystyle x=e}$ e l'esponenziale ${\displaystyle x}$-esimo di ${\displaystyle x}$, ovvero ${\displaystyle x^{x}}$, ha minimo per ${\displaystyle x={\frac {1}{e}}}$.

Il primo riferimento ad ${\displaystyle e}$ in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di ${\displaystyle e}$ come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli^[1]:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La sua prima citazione, rappresentata con la lettera ${\displaystyle b}$ compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera ${\displaystyle e}$ per la costante nel 1727 e il primo uso di ${\displaystyle e}$ compare nella Mechanica di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera ${\displaystyle c}$, poi l'uso di ${\displaystyle e}$ si è fatto più comune. Oggi la lettera ${\displaystyle e}$ è il simbolo definitivo per indicare il numero di Nepero.

Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera ${\displaystyle e}$, si può supporre che ${\displaystyle e}$ fu scelto perché iniziale della parola esponenziale.^[2] Un altro motivo sta nel fatto che ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, e ${\displaystyle d}$ venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed ${\displaystyle e}$ era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.

La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.

Definiamo

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}~,}$

${\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}~.}$

Dal teorema binomiale,

${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=1+1+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k!\,n^{k}}}}$

${\displaystyle =1+1+{\frac {1}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {1}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots +{\frac {1}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}}$

tale che

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e~.}$

Qui deve essere usato il limite superiore o ${\displaystyle \limsup }$, poiché non è ancora noto che ${\displaystyle t_{n}}$ converge effettivamente. Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di ${\displaystyle t_{n}}$, se ${\displaystyle 2\leq m\leq n}$, abbiamo

${\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {1}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$

Fissato ${\displaystyle m}$ si fa tendere ${\displaystyle n}$ all'infinito. Otteniamo

${\displaystyle s_{m}=1+1+{\frac {1}{2!}}+\cdots +{\frac {1}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$

(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o ${\displaystyle \liminf }$ poiché non è ancora garantito che ${\displaystyle t_{n}}$ converge).

Ora, considerando la disuguaglianza precedente, ${\displaystyle m}$ si avvicina all'infinito, e colloca quest'ultima assieme all'altra disuguaglianza; da cui:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }t_{n}.}$

Questo completa la dimostrazione.

Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolare ${\displaystyle e}$, esistono metodi stocastici per stimarlo. Uno di questi parte da una successione infinita di variabili casuali indipendenti ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ distribuite uniformemente nell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$. Sia ${\displaystyle K}$ il numero di somme parziali di variabili ${\displaystyle X_{n}}$ che siano strettamente minori di ${\displaystyle 1}$, ponendo:

${\displaystyle V={\frac {1}{K}}\sum _{i=0}^{K}n_{i},}$

dove ${\displaystyle n_{i}=\min(n:X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}>1),}$ allora il valore atteso ${\displaystyle V}$ è proprio la costante ${\displaystyle e}$.

• Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Napoli, Liguori Editore, 1998, ISBN 88-207-2819-2. paragrafi 31 e 102.
• Carl B. Boyer, Storia della Matematica, Milano, Mondadori, 1990, ISBN 88-04-33431-2.
• (EN) Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-06-91-14134-3.

• Prime 100000 cifre di e

• Wikiquote contiene citazioni di o su e (costante matematica)
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su e (costante matematica)

• (EN) Eric W. Weisstein, E, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) The number e (history), su www-gap.dcs.st-and.ac.uk. URL consultato il 7 settembre 2004 (archiviato dall'url originale il 14 settembre 2004).
• Il primo milione e i primi due milioni di cifre decimali del numero e

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