Successione di Lucas

La successione di Lucas prende il nome dal matematico francese Édouard Lucas (1842 – 1891) che la ideò e ne studiò le proprietà.

In matematica, la successione di Lucas, indicata con $L_{n}$ è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono, per definizione, $L_{0}=2$ e $L_{1}=1$ . Questa successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la regola:

L_{0}=2,

L_{1}=1,

L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}

(per ogni n>1)

Gli elementi $L_{n}$ sono anche detti numeri di Lucas.

Pertanto i primi quindici termini della successione di Lucas sono: $\{2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521,843\dots \}.$

La successione di Lucas ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci, dove ogni termine è la somma dei due termini precedenti, ma con valori iniziali diversi. Questo produce una successione in cui i rapporti dei termini successivi si avvicinano al rapporto aureo, e in effetti i termini stessi sono un arrotondamento di potenze intere del rapporto aureo.^[1] La successione ha anche una varietà di relazioni con i numeri di Fibonacci, come il fatto che la somma di due numeri a due posizioni di distanza nella successione di Fibonacci dia per risultato il numero di Lucas in mezzo.^[2]

Proprietà principale

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Il rapporto ${\frac {L_{n}}{L_{n-1}}}$ , per $n$ tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale $\phi$ chiamato sezione aurea o numero di Fidia. In termini matematici:

\lim _{n\to \infty }{L_{n} \over L_{n-1}}=\,\phi

dove

\,\phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}=1{,}6180339887\dots

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Lucas siano o meno infiniti, ma si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Lucas.

Note

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^ (EN) Matt Parker, 13, in Things to Make and Do in the Fourth Dimension, Farrar, Straus and Giroux, 2014, p. 284, ISBN 978-0-374-53563-6.
^ (EN) Matt Parker, 13, in Things to Make and Do in the Fourth Dimension, Farrar, Straus and Giroux, 2014, p. 282, ISBN 978-0-374-53563-6.