La serie di Mengoli, così chiamata in onore di Pietro Mengoli, è la serie definita come
.
Questa serie risulta convergente a 1. Infatti si ha che la serie:
![{\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c36b307c7fdd8bd3666dc549e3336ada8fad8ca)
Abbiamo pertanto che
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}=\\&=1-{\frac {1}{k+1}}\longrightarrow 1{\mbox{, per }}k\to \infty .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c204fdccf41990a86c29695d202a8ad31ec15112)
Risulta però interessante notare come ogni elemento delle successioni parziali si elimini con il termine successivo:
di cui il limite risulta essere:
Inoltre non è possibile spezzare la sommatoria nella differenza di due serie:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb9ca477d3926976395619935cc1779dbdcce3c)
poiché queste sono serie armoniche, ciascuna divergente.
La serie di Mengoli costituisce un esempio classico di serie telescopica.