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In matematica, la serie sommativa unitaria, indicata anche come 1 + 1 + 1 + 1 + ... è una serie divergente. Essa è rappresentabile mediante sommatoria come

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+1+\cdots }$

Troncando al termine ${\displaystyle m}$-esimo si ha:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}1=m.}$

Talvolta viene utilizzata, in modo informale, la seguente uguaglianza:

${\displaystyle 1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.}$

Occorre però ricordare che questa uguaglianza non è formalmente corretta fintantoché si considera la definizione usuale di serie infinita, in quanto la serie sommativa unitaria è una serie divergente. Una delle motivazioni di tale scrittura è la seguente: se si considera, informalmente, la serie sommativa unitaria come un caso particolare della funzione zeta di Riemann (valutata nel punto 0)

${\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{1^{0}}}+{\frac {1}{2^{0}}}+{\frac {1}{3^{0}}}+\cdots =1+1+1+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }1}$.

e si utilizza il prolungamento analitico di tale funzione per dimostrare che:

${\displaystyle \zeta (0)=-{1 \over 2},}$

si arriva scrivere ${\displaystyle 1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.}$ Questo ragionamento non è tuttavia corretto in quanto la definizione di ${\displaystyle \zeta }$ in forma di serie non è valida in 0 (e non lo è in generale per tutti i numeri aventi parte reale minore o uguale a 1). Possiamo al massimo dire che esiste un "collegamento indiretto" tra la serie sommativa unitaria (intesa in senso usuale) e il valore -1/2.

Il fisico spagnolo Emilio Elizalde ha raccontato un aneddoto su questa serie:^[1]

• Serie di Grandi
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

V · D · M Successioni e Serie
Successioni di interi	Base Progressione aritmetica · Progressione geometrica · Progressione armonica · Progressione aritmetica · Numeri quadrati · Numeri cubici · Fattoriale · Potenze di 2 · Potenze di 3 · Potenze di 10 Avanzate Successione completa · Numeri di Fibonacci · Numeri figurati · Numeri ettagonali · Numeri esagonali · Numeri di Lucas · Numeri di Pell · Numeri pentagonali · Numero poligonale · Numero triangolare
Proprietà delle successioni	Successione di Cauchy · Successione monotona · Successione alternata
Proprietà delle serie	Tendenza Serie alternata · Serie convergente · Serie divergente · Serie telescopica Convergenza Convergenza incondizionata · Convergenza assoluta · Convergenza uniforme
Serie esplicite	Convergenti 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemann zeta) Divergenti 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi) · a1 + (a1+d) + ⋯ · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (armonica) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (fattoriale alternata) · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversi dei primi)
Tipi di serie	Serie di Taylor · Serie di potenze · Serie formale di potenze · Serie di Laurent · Serie di Puiseux · Serie di Dirichlet · Serie trigonometrica · Serie di Fourier · Serie generatrice
Serie Ipergeometrica	Serie ipergeometrica generalizzata · Funzione ipergeometrica di un argomento di matrice · Serie di Lauricella · Serie modulare · Serie ipergeometrica confluente · Serie theta

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