Utente:Skyhc/Sandbox2

In matematica, la misura di Lebesgue è la formalizzazione matematica del concetto naive di volume per i sottoinsiemi dello spazio euclideo Rⁿ.

La sua scoperta fu legata al bisogno di trovare un integrale con proprietà migliori rispetto a quello di Riemann ed è il frutto del lavoro di alcune fra le menti matematiche più brillanti di fine '800 e inizio '900, tra cui Karl Weierstrass, Giuseppe Peano, Camille Jordan, Émile Borel, e, ovviamente, Henri Lebesgue. Una delle difficoltà che dovettero superare fu comprendere il rapporto (per nulla intuitivo, si vedano gli esempi di insiemi misurabili) tra la cardinalità di un insieme, la sua rilevanza topologica e le sue dimensioni rispetto ad una possibile misura su Rⁿ. Le ricerche in questo ambito stimolarono forti avanzamenti nella teoria degli insiemi ed in topologia.

Nella prima metà del 1900 si capì che gli strumenti usati nella creazione della misura di Lebesgue su Rⁿ potevano essere generalizzati, delineando così i fondamenti della teoria della misura come la conosciamo oggi. Nel 1933, questo permise ad Andrei Kolomogorov di porre su basi rigorose la teoria delle probabilità con la pubblicazione del suo Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung (Fondamenti di teoria delle probabilità).

Per trovare un insieme non misurabile è necessario l'assioma della scelta. La seguente costruzione è sostanzialmente dovuta a Giuseppe Vitali.

Si consideri l'intervallo semiaperto I := [0, 1) e si definisca la relazione di equivalenza ρ che considera due elementi x, y ∈ I equivalenti se y - x è razionale. Per l'assioma della scelta esiste un insieme N che contiene un elemento per ogni classe di equivalenza modulo ρ. Risulta che N non è Lebesgue misurabile.

Prima di dimostrarlo si pongano, per ogni razionale r in I

M_r  := N + r = { x + r : x ∈ N }

ed

N_r := ( M_r ∩ I ) ∪ ( M_r ∩ [1, ∞ ) - 1 ).

Se si suppone che N sia Lebesgue misurabile, per l'invarianza di m rispetto alle traslazioni, si ha

m ( N ) = m ( M_r ) = m ( M_r ∩ I ) + m ( M_r ∩ [1, ∞ ) ) = m ( N_r ).

La famiglia di insiemi { N_r } partiziona I. Infatti, se x ∈ I appartiene alla classe di equivalenza di y ∈ N, possono succedere due cose

• o y < x e allora x sta in M_r ∩ I con r = x - y, i.e. x ∈ N_r ;
• o y > x e allora x = y + ( ( 1 - y ) + x ) - 1, quindi x ∈ N_r posto r = ( 1 - y ) + x .

Inoltre, se per assurdo x appartiene sia a N_r che a N_k con r diverso da k, allora esistono y e z in N tali che y = x - r o y = x - r + 1 e z = x - k o z = x - k + 1. In ogni caso la differenza z - y è un numero razionale, che è assurdo perché N, per definizione, contiene un solo elemento per ogni classe di equivalenza modulo ρ.

Ora, poichè l'insieme dei razionali r che stanno in I è numerabile, e visto che { N_r } partiziona I si ha

1 = m ( I ) = ∑_r m ( N_r ) = ∑_r m ( N )

che è assurdo perchè se fosse m ( N ) = 0 la serie di destra farebbe 0, mentre se m ( N ) > 0 la serie diverge a +∞.

La misura di Haar può essere definita su ogni gruppo localmente compatto ed è una generalizzazione della misura di Lebesgue (Rⁿ con l'addizione è un gruppo localmente compatto).

La misura di Hausdorff (vedi misura di Hausdorff) è una generalizzazione della misura di Lebesgue utile per misurare i sottoinsiemi di Rⁿ di dimensione minore di n come le superfici, le curve, e più in generale le sottovarietà, o i frattali.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

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