Spazio paracompatto
In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Uno spazio topologico è paracompatto se ogni ricoprimento aperto di ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto di tale che:
- ogni è contenuto in un elemento di ;
- ogni ammette un intorno che interseca solo un numero finito di elementi di .
In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che sia uno spazio di Hausdorff.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
- Gli aperti e i chiusi di sono paracompatti.
- Ogni varietà topologica è paracompatta.
- Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
- L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
- Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]- Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
- Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
- Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
- L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Ryszard Engelking, General topology, Berlino, Heldermann, 1989, ISBN 3-88538-006-4.
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- (EN) Ernest Arthur Michael, Paracompact Spaces, in Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata e Jerry E. Vaughan (a cura di), Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, ISBN 978-0-444-50355-8.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) paracompactness, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Spazio paracompatto, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) A.V. Arkhangel'skii, Paracompact space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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