Il teorema della palla pelosa è un concetto della topologia algebrica secondo il quale non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente a una sfera.

Espresso in termini euristici esso afferma, sostanzialmente, che «non è possibile pettinare completamente una palla pelosa» oppure «non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo», i capelli pettinati rappresentando il campo vettoriale continuo: non è possibile, quindi, eseguire su una sfera una pettinatura che non abbia almeno una chierica o una riga.

La sua enunciazione formale è la seguente: data una sfera ${\displaystyle S}$ e una funzione continua ${\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ che associa a ogni punto ${\displaystyle P}$ della sfera un vettore tridimensionale tangente alla sfera stessa in ${\displaystyle P}$, esiste almeno un punto della sfera ${\displaystyle Q\in S}$ tale che ${\displaystyle f(Q)=0}$.

Il teorema, dimostrato nel 1912 da Luitzen Brouwer, può essere visto come un caso particolare del Teorema di Poincaré-Hopf, che asserisce che la somma degli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie è pari alla caratteristica di Eulero di tale superficie: poiché la caratteristica di Eulero della sfera è 2, il campo deve possedere almeno uno zero; una superficie a caratteristica zero, come il toro, è invece «pettinabile». In questo contesto più ampio il teorema della palla pelosa costituisce un esempio di legame tra le proprietà topologiche di una superficie (la caratteristica di Eulero) e quelle analitiche (i campi vettoriali su di essa). Esistono tuttavia numerose altre dimostrazioni, ad esempio a partire dal lemma di Sperner^[1][2].

Il teorema della palla pelosa ha applicazioni non solo in ambito matematico, ma anche in alcuni campi della fisica e della tecnologia.

Una conseguenza del teorema della palla pelosa è che qualunque funzione continua che mappa la sfera in sé stessa ha necessariamente un punto che viene mappato su sé stesso (punto fisso) o sul proprio punto antipodale:

${\displaystyle \forall f:S\rightarrow S\quad \mathrm {continua} ,\,\exists P\in S:\,f(P)=\pm P}$.

La dimostrazione di questa proprietà si ottiene associando alla funzione continua una funzione vettoriale tangente nel seguente modo: preso un punto ${\displaystyle P}$ sulla sfera, si costruisce la proiezione stereografica di ${\displaystyle f(P)}$ usando ${\displaystyle P}$ come polo della proiezione, e si prende come vettore tangente ${\displaystyle \mathbf {v} (P)}$ il vettore posizione della proiezione rispetto a ${\displaystyle P}$.

I vettori tangenti così costruiti definiscono una funzione continua che rispetta le ipotesi del teorema: quindi esiste un punto ${\displaystyle P}$ della sfera tale che ${\displaystyle \mathbf {v} (P)=0}$; questo implica che ${\displaystyle f(P)}$ coincide con ${\displaystyle P}$, oppure si trova al suo antipodo.

La circolazione atmosferica di un pianeta può essere rappresentata con un modello che assegna a ogni punto della superficie un vettore tangente alla superficie stessa e avente la direzione del vento; questa approssimazione equivale a trascurare la componente verticale del vento, condizione accettabile dato che il diametro del pianeta è significativamente maggiore dello spessore dell'atmosfera.

Tranne il caso banale in cui il vento è fermo su tutto il pianeta, il campo vettoriale così definito rispetta le ipotesi del teorema della palla pelosa; segue che esiste almeno un punto della superficie in cui il vento ha velocità nulla: questi punti corrispondono all'occhio di un ciclone o di un anticiclone. Il teorema garantisce quindi che sulla superficie di un pianeta dotato di atmosfera esiste sempre almeno un ciclone.

Un problema comune in computer grafica è la generazione di un vettore non nullo ortogonale ad un altro vettore dato. Se consideriamo il vettore di partenza come posizionato sul raggio di una sfera, i vettori ortogonali sono tangenti alla sfera stessa; dal teorema della palla pelosa segue che non esiste una funzione continua in grado di risolvere il problema per qualunque vettore di partenza, ossia per tutti i punti della sfera.

Il teorema può essere esteso a sfere in dimensioni superiori: si può dimostrare che esso è valido per tutte le ${\displaystyle 2n}$-sfere, in dimensione pari. Questa proprietà è facilmente derivabile tramite la caratteristica di Eulero: quest'ultima infatti si può ottenere come somma alternata dei numeri di Betti della ${\displaystyle m}$-sfera, che valgono 0 tranne che per le dimensioni ${\displaystyle 0}$ ed ${\displaystyle m}$, per cui la caratteristica di Eulero vale 2 se ${\displaystyle m}$ è pari, perché i due termini non nulli hanno lo stesso segno, 0 se ${\displaystyle m}$ è dispari.

• (EN) The Hairy Ball Theorem, su bbc.co.uk, BBC, 22 marzo 2006. URL consultato il 6 settembre 2008.
• Tyler Jarvis, James Tanton, The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma (PDF), in American Mathematical Monthly, n. 111, 2004, pp. 599-603. URL consultato il 6 settembre 2008 (archiviato dall'url originale il 13 maggio 2008).
• John Milnor, Analytic proofs of the “hairy ball theorem” and the Brouwer fixed point theorem, in American Mathematical Monthly, n. 85, 1978, pp. 521-524.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Teorema della palla pelosa

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