Serie telescopica

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L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

i cui termini appaiono nella forma

${\displaystyle a_{k}=A_{k+1}-A_{k}}$

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione ${\displaystyle \{A_{k}\}}$:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=A_{n+1}-A_{1}\,,}$

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione ${\displaystyle \{A_{k}\}}$, dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:

${\displaystyle \quad \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }A_{n+1}-A_{1}=\ldots }$

• Un tipico esempio è la serie di Mengoli:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}.}$

Si può dimostrare che la somma di questa serie è ${\displaystyle 1}$ infatti

${\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}=\left(-{\frac {1}{k+1}}\right)-\left(-{\frac {1}{k}}\right),}$

cioè si tratta di una serie telescopica con ${\displaystyle A_{k}=-{\frac {1}{k}}}$ e quindi

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{n+1}}\right)-(-1)=1.}$

• Altro esempio è la serie geometrica:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{k}}{1-q}}\right)={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},\quad {\text{per }}q\neq 1,}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=n+1,\quad {\text{per }}q=1,}$

da cui si dimostra subito che se ${\displaystyle \left|q\right|<1}$ la serie converge a ${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Serie telescopica, su MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Successioni e Serie
Successioni di interi	Base Progressione aritmetica · Progressione geometrica · Progressione armonica · Progressione aritmetica · Numeri quadrati · Numeri cubici · Fattoriale · Potenze di 2 · Potenze di 3 · Potenze di 10 Avanzate Successione completa · Numeri di Fibonacci · Numeri figurati · Numeri ettagonali · Numeri esagonali · Numeri di Lucas · Numeri di Pell · Numeri pentagonali · Numero poligonale · Numero triangolare
Proprietà delle successioni	Successione di Cauchy · Successione monotona · Successione alternata
Proprietà delle serie	Tendenza Serie alternata · Serie convergente · Serie divergente · Serie telescopica Convergenza Convergenza incondizionata · Convergenza assoluta · Convergenza uniforme
Serie esplicite	Convergenti 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemann zeta) Divergenti 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi) · a1 + (a1+d) + ⋯ · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (armonica) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (fattoriale alternata) · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversi dei primi)
Tipi di serie	Serie di Taylor · Serie di potenze · Serie formale di potenze · Serie di Laurent · Serie di Puiseux · Serie di Dirichlet · Serie trigonometrica · Serie di Fourier · Serie generatrice
Serie Ipergeometrica	Serie ipergeometrica generalizzata · Funzione ipergeometrica di un argomento di matrice · Serie di Lauricella · Serie modulare · Serie ipergeometrica confluente · Serie theta

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