Sfera

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Sfera (disambigua).

La sfera (dal greco antico: σφαῖρα^?, sphaîra) è il solido geometrico costituito da tutti i punti che sono a distanza minore o uguale a una distanza fissata ${\displaystyle r}$, detta raggio della sfera, da un punto ${\displaystyle O}$ detto centro della sfera.

L'insieme dei punti la cui distanza è eguale a ${\displaystyle r}$ è detto superficie sferica di centro ${\displaystyle O}$ e raggio ${\displaystyle r}$. È detta "semisfera" ciascuna delle metà di un solido sferico diviso in due da un piano passante per il centro o anche ciascuna delle due superfici di una sfera divisa da una sua circonferenza massima.

In geometria cartesiana, una superficie sferica con centro ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ e di raggio ${\displaystyle r}$ è rappresentata dall'insieme di punti ${\displaystyle (x,y,z)}$ tali che

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \vartheta \cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \vartheta \sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \vartheta \end{aligned}}\right.}$

dove ${\displaystyle \vartheta }$ e ${\displaystyle \varphi }$ rappresentano la latitudine e la longitudine del punto, variando negli intervalli

${\displaystyle 0\leq \vartheta \leq \pi ,\quad -\pi \leq \varphi <\pi .}$

Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia ${\displaystyle (\vartheta ,\varphi )}$ di questo tipo, tranne i poli: la coppia ${\displaystyle (0,\varphi )}$ descrive sempre il polo nord, e ${\displaystyle (\pi ,\varphi )}$ sempre il polo sud (per qualsiasi valore di ${\displaystyle \varphi }$).

Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0}$

con ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, numeri reali tali che ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d>0}$. Dall'equazione cartesiana si possono ricavare le coordinate del centro:

${\displaystyle C\left(-{\dfrac {a}{2}};-{\dfrac {b}{2}};-{\dfrac {c}{2}}\right).}$

L'area della superficie di una sfera di raggio ${\displaystyle R}$ è data dall'equazione:

${\displaystyle A=4\pi R^{2}.}$

La sfera può essere pensata come un solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all'asse ${\displaystyle x}$ il grafico della funzione

${\displaystyle f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},}$

che rappresenta una semicirconferenza di raggio ${\displaystyle R}$. Pertanto, per il primo teorema di Guldino, la superficie laterale è data da:

${\displaystyle A=2\pi \int _{-R}^{+R}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx=2\pi \int _{-R}^{+R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\frac {R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{-R}^{+R}R\,dx=2\pi R(R+R)=4\pi R^{2}.}$

La superficie totale della sfera si può ottenere, per il primo teorema di Guldino, tramite il seguente integrale:

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{\pi }R^{2}\sin \vartheta \,d\vartheta =2\pi R^{2}(-\cos \pi +\cos 0)=4\pi R^{2}.}$

Il volume della sfera di raggio ${\displaystyle R}$ è dato dall'equazione (integrale in ${\displaystyle dR}$ della superficie):

${\displaystyle V={\frac {AR}{3}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}.}$

La dimostrazione di questa formula può essere ottenuta in modo immediato usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.

Si pensi di sommare tutte le aree dei cerchi che si ottengono sezionando la sfera con dei piani orizzontali. Il raggio di questi cerchi varierà con una funzione ${\displaystyle f(l)}$ della distanza del piano orizzontale dal centro della sfera e dato che l'area di un cerchio equivale a ${\displaystyle \pi }$ per il raggio al quadrato:

${\displaystyle V=\int _{-R}^{+R}\pi f^{2}(l)\,dl,}$

dove ${\displaystyle l}$ appunto è la distanza del piano dal centro della sfera.

Raggio alla distanza ${\displaystyle x}$

${\displaystyle s={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$

Dunque, dal teorema di Pitagora, ${\displaystyle f(l)}$ vale:

${\displaystyle f(l)={\sqrt {R^{2}-l^{2}}}}$

che, sostituita nell'equazione del volume, si trova:

${\displaystyle V=\int _{-R}^{+R}\pi (R^{2}-l^{2})\,dl=\pi \int _{-R}^{+R}R^{2}\,dl-\pi \int _{-R}^{+R}l^{2}\,dl=2\pi R^{3}-{\frac {2}{3}}\pi R^{3}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}$

Allo stesso modo si può calcolare il volume ${\displaystyle V_{\mathrm {KS} }}$ di un segmento di sfera di altezza ${\displaystyle h}$

${\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=\int _{r-h}^{r}{A_{x}dx}=r^{2}\pi \left[x\right]_{r-h}^{r}-{1 \over 3}\pi \left[{x^{3}}\right]_{r-h}^{r}}$

${\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=r^{2}\pi \left[r-(r-h)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^{3}-(r-h)^{3}\right]=\pi r^{2}h-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r^{3}-3r^{2}h+3rh^{2}-h^{3})\right]}$

${\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}h-\pi r^{2}h+\pi rh^{2}-{1 \over 3}\pi h^{3}={\pi h^{2} \over 3}(3r-h).}$

La sfera può anche essere intesa come l'insieme di numerose piramidi infinitesime, tutte con il vertice nel centro della sfera e con i poligoni di base delle piramidi che poggiano sulla superficie della sfera: queste infinite piramidi elementari riempiranno tutto e solo il volume della sfera. Il volume di ogni piramide è:

${\displaystyle {\frac {{\mbox{area di base}}\cdot {\mbox{altezza}}}{3}}}$

mentre il volume complessivo è uguale a

${\displaystyle {\frac {{\mbox{area della sfera}}\cdot {\mbox{raggio della sfera}}}{3}}}$

dal quale si desume il significato della formula per il volume della sfera.

La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume.

Il cilindro circoscritto ha un volume che è ${\displaystyle 3/2}$ quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.

Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è ${\displaystyle R/3}$.

Una sfera può anche essere definita come formata da un semicerchio che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.

Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta asse, poiché è un asse di simmetria della sfera.

Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.

Se un punto della superficie sferica è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l'asse. Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la Terra, anche se non perfettamente sferici.

Lo stesso argomento in dettaglio: Ipersfera.

La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale ${\displaystyle n}$, una sfera ${\displaystyle n}$-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo ${\displaystyle (n+1)}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ che hanno una distanza fissata ${\displaystyle r>0}$ da un certo punto dello spazio.

Ad esempio:

• una sfera 0-dimensionale è fatta di una coppia di punti ${\displaystyle \{-r,r\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$;
• una sfera 1-dimensionale è una circonferenza di raggio ${\displaystyle r}$ nel piano;
• una sfera 2-dimensionale è la superficie sferica ordinaria;
• una sfera 3-dimensionale è una sfera nello spazio euclideo 4-dimensionale (intesa come un'ipersuperficie 3-dimensionale ipersferica).

Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera ${\displaystyle n}$-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con ${\displaystyle S^{n}}$.

Più in generale, in uno spazio metrico ${\displaystyle (E,d)}$, la sfera di centro ${\displaystyle x}$ e raggio ${\displaystyle r>0}$ è l'insieme

${\displaystyle S(x;r)=\{y\in E|d(x,y)=r\}.}$

Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ con la metrica euclidea, una sfera di raggio ${\displaystyle r}$ è vuota se e solo se ${\displaystyle r^{2}}$ non può essere scritto come somma di ${\displaystyle n}$ quadrati.

Formule della Sfera
Circonferenza	${\displaystyle U\,=\,2\pi r{\color {OliveGreen}\ ={\frac {\mathrm {d} A_{\mathrm {PF} }}{\mathrm {d} r}}}}$
Superficie	${\displaystyle A_{O}\,=\,4\pi r^{2}\,{\color {OliveGreen}\ ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}}}$
Volume	${\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A_{O}\mathrm {d} r}$
Area di un cerchio massimo	${\displaystyle A_{\mathrm {PF} }\,=\,\pi r^{2}=\int _{0}^{r}U\mathrm {d} r}$
Volume di un segmento di sfera	${\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}$
Area di una calotta sferica	${\displaystyle A_{\mathrm {KK} }\,=\,2rh\pi =2r^{2}\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}$
Momento d'inerzia	${\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}$

Dove con ${\displaystyle r}$ si intende il raggio della sfera, con ${\displaystyle h}$ l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, con ${\displaystyle \alpha }$ l'ampiezza in steradianti della calotta.

Lo stesso argomento in dettaglio: Chilogrammo § Proposte per la definizione futura.

Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora il miglior risultato è stato raggiunto dall'Australian Centre for Precision Optics, di Lindfield (Australia). La sfera è stata ottenuta attraverso una levigazione ad altissima precisione di una barra di silicio 28 (un isotopo del silicio) ed è frutto del Progetto Avogadro, che si propone di arrivare alla definizione del chilogrammo perfetto, basata sulla conoscenza dell'esatto numero di atomi che compongono tale sfera.^[1] Il suo diametro è di 9,36 centimetri e come uniche imperfezioni presenta una rugosità di 0,3 nanometri e piccole deviazioni di sfericità di circa 60-70 nanometri. In precedenza, il miglior risultato era stato ottenuto dalla NASA, che per la sonda Gravity Probe B, costruita per degli studi gravitazionali in orbita, ha creato dei giroscopi con deviazioni inferiori ai 100 nanometri.

Parmenide paragona l'Essere a una sfera perfetta, sempre uguale a se stessa nello spazio e nel tempo, chiusa e finita (per gli antichi greci il finito era sinonimo di perfezione). La sfera è infatti l'unico solido geometrico che non ha differenze al suo interno, ed è uguale dovunque la si guardi; l'ipotesi collima suggestivamente con la teoria della relatività di Albert Einstein che nel 1900 dirà:^[2] «Se prendessimo un binocolo e lo puntassimo nello spazio, vedremmo una linea curva chiusa all'infinito» in tutte le direzioni dello spazio, ovvero, complessivamente, una sfera (per lo scienziato infatti l'universo è finito sebbene illimitato, fatto di uno spazio tondo ripiegato su se stesso).^[3]

• Circonferenza
• Geometria sferica
• Trigonometria sferica
• Pentagramma miracoloso
• Ipersfera
• Pseudosfera
• Palla (matematica)
• Sfera unitaria

• Wikiquote contiene citazioni sulla sfera
• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «sfera»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla sfera

• Sfera, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Attilio Frajese, SFERA, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1936.
• Sfèra, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• sfèra, su sapere.it, De Agostini.
• (EN) sphere, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Sphere, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Sphere, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Sphere, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica