Polinomi ortogonali

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In matematica, una famiglia di polinomi ${\displaystyle p_{n}(x)}$ per ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,}$ dove per ogni ${\displaystyle n}$ si ha un polinomio di grado ${\displaystyle n}$, si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ rispetto alla funzione peso ${\displaystyle w(x)}$ positiva nell'intervallo scelto se

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p_{n}(x)p_{m}(x)\,dx=0,\qquad \forall n,m=0,1,2,\dots ,\qquad {\mbox{con }}n\neq m.}$

Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi ${\displaystyle p(x)}$ e ${\displaystyle q(x)}$ dia

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)q(x)\,dx.}$

Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:

• I polinomi di Hermite ${\displaystyle H_{n}(x)}$ e ${\displaystyle He_{n}(x)}$, ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità.

• I polinomi di Čebyšëv di prima specie ${\displaystyle T_{n}(x)}$, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla funzione peso ${\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad {\mbox{per }}-1<x<1.}$

• I polinomi di Čebyšëv di seconda specie ${\displaystyle U_{n}(x)}$, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla funzione peso ${\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}},\quad {\mbox{per }}-1<x<1.}$

• I polinomi di Legendre, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla distribuzione di probabilità uniforme.

• I polinomi di Gegenbauer, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla distribuzione di probabilità ${\displaystyle (1-x^{2})^{\alpha -1/2}.}$

• I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla distribuzione di probabilità ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }.}$

• I polinomi di Laguerre ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ con ${\displaystyle \alpha >-1}$, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [0,+\infty )}$ rispetto alla distribuzione di probabilità ${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}.}$

Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:

${\displaystyle (f_{n},f_{m})=\sum _{i=a}^{b}w(x_{i})f_{n}(x_{i})^{*}f_{m}(x_{i}),}$

dove gli ${\displaystyle x_{i}}$ sono numeri interi nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$. Con questa definizione,

• i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione ${\displaystyle w(x)=1}$ (con ${\displaystyle [a,b]=[0,N-1]}$);

• i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione ${\displaystyle {\frac {e^{-u}u^{x}}{x!}}}$ (con ${\displaystyle [a,b]=[0,+\infty ]}$).

Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.

In linea con la definizione di base ortonormale, dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:

${\displaystyle (p_{i},p_{j})=\int _{a}^{b}w(x)\,p_{i}(x)\,p_{j}(x)\,dx=\delta _{i,j},}$

per ogni ${\displaystyle i,j}$.

• Milton Abramowitz e Irene Stegun, capitolo 22, Handbook of Mathematical Functions New York, Dover, 1964.

• W. H. Thomas, http://handle.dtic.mil/100.2/ADA256448^{[collegamento interrotto]}, Monterey, 1992.

• Roelof Koekoek e René F. Swarttouw, The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue^{[collegamento interrotto]}, Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics, 1998, Report no. 98-17.

• Serie di Fourier generalizzata
• Glossario sui polinomi
• Polinomio di Racah

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su polinomi ortogonali

• Alfio Quarteroni, polinomi ortogonali, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
• (EN) Eric W. Weisstein, Polinomi ortogonali, su MathWorld, Wolfram Research.

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