In matematica, in particolare nel calcolo infinitesimale, il differenziale di una funzione in un punto, a meno di traslazioni, è l'operatore lineare che meglio approssima nel punto la funzione stessa.

Nel caso di funzioni ad una variabile reale, il differenziale di una funzione derivabile ${\displaystyle f}$ è rappresentabile tramite la derivata. Infatti, sia ${\displaystyle x_{0}}$ un punto interno del domino di f, allora vale l'approssimazione data da

${\displaystyle f(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})+o(\vert x-x_{0}\vert )}$,

dove ${\displaystyle o(\vert x-x_{0}\vert )}$ è tale che ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {o(\vert x-x_{0}\vert )}{\vert x-x_{0}\vert }}=0}$. Quindi a meno della traslazione data da ${\displaystyle f(x_{0})}$, la funzione ${\displaystyle f}$ è approssimata dall'operatore lineare rappresentato dalla moltiplicazione per lo scalare ${\displaystyle f'(x_{0})}$. Nel seguito indicheremo con ${\displaystyle df(x_{0})}$ o con ${\displaystyle df_{x_{0}}}$ il differenziale della funzione ${\displaystyle f}$ nel punto ${\displaystyle x_{0}}$.

Nel caso di funzioni da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, l'operatore lineare ${\displaystyle df(x_{0})}$, come tutti gli operatori da da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, può essere rappresentato da un'opportuna matrice e la sua azione è data dal consueto prodotto righe per colonne.

Una funzione da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ è detta differenziabile nel punto ${\displaystyle x_{0}}$, punto interno del dominio di ${\displaystyle f}$, se esiste un operatore lineare ${\displaystyle A_{f}}$ da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ tale che, detto ${\displaystyle h}$ un vettore di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, soddisfa

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-A_{f}(h)}{\Vert h\Vert }}=0}$,

o in modo equivalente si può scrivere che ${\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})-A_{f}(h)=o(\|h\|)}$.

Se tale operatore esiste allora viene detto il differenziale di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle df(x_{0})=A_{f}}$. Si noti che il limite sopra indicato è per il vettore ${\displaystyle h}$ che va a zero, questo consiste nel far tendere a zero coordinata per coordinata in tutti i modi possibili.

Il differenziale ${\displaystyle df(x_{0})}$, essendo un operatore lineare da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, può essere rappresentato da una matrice ${\displaystyle n\times m}$.

Una generalizzazione del concetto di differenziale di funzione da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ appena data è quella di differenziale di una funzione tra spazi di Banach.

Siano ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle F}$ due spazi di Banach (ad esempio ${\displaystyle E}$ può coincidere con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle F}$ con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$), sia ${\displaystyle f:E\to F}$ e sia ${\displaystyle x_{0}}$un punto interno del dominio di ${\displaystyle f}$. Allora, ${\displaystyle f}$ si dice differenziabile in ${\displaystyle x_{0}}$ se esiste un operatore lineare ${\displaystyle A_{f}}$ da ${\displaystyle E}$ a ${\displaystyle F}$ tale che per ogni vettore ${\displaystyle h}$ di ${\displaystyle E}$ soddisfa

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-A_{f}(h)}{\Vert h\Vert }}=0}$.

Se tale operatore esiste allora viene detto il differenziale di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle df(x_{0})=A_{f}}$. Gli spazi di Banach comprendono anche spazi infinito dimensionali, quindi non è detto in questo caso che il differenziale sia rappresentabile per mezzo di una matrice.

Un'ulteriore generalizzazione è quella di differenziale di funzione (morfismo) tra varietà differenziabili.

Siano ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ due varietà differenziabili (ad esempio ${\displaystyle M}$ può coincidere con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle N}$ con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$), sia ${\displaystyle f:M\to N}$ una funzione liscia e sia ${\displaystyle x_{0}}$un punto interno del dominio di ${\displaystyle f}$. Allora, il differenziale di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$ è definito come l'operatore lineare che mappa lo spazio tangente a ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle T_{x_{0}}M}$, nello spazio tangente a ${\displaystyle N}$ in ${\displaystyle f(x_{0})}$, ${\displaystyle T_{f(x_{0})}N}$, che agisce come segue

${\displaystyle df_{x_{0}}(v)(g)=v(g\circ f)}$

per ogni ${\displaystyle g\in {C^{\infty }}(f(x_{0}))}$, dove si sono considerati i vettori tangenti come derivazioni.^[1] Considerando i vettori tangenti come classi di equivalenza di curve passanti per ${\displaystyle m}$ si ottiene la definizione corrispondente:

${\displaystyle df_{x_{0}}([\gamma ])=[f_{*}\gamma ]=[f\circ \gamma ]}$

La mappa ${\displaystyle df_{p}}$ (scritta anche come ${\displaystyle Tf_{p}}$, ${\displaystyle Df_{p}}$, ${\displaystyle f_{*}}$, ${\displaystyle f'(p)}$) è detta anche mappa tangente, perché il simbolo ${\displaystyle T}$ definisce un funtore covariante dalla categoria delle varietà differenziabili in quella dei fibrati vettoriali.

Torniamo a prendere in esame il differenziale di una funzione ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$. Supponiamo che ${\displaystyle f}$ sia differenziabile, allora per definizione di differenziabilità, facendo il limite sui vettori ${\displaystyle h}$ proporzionali al ${\displaystyle i}$-esimo vettore della base di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle h=te_{i}}$, con ${\displaystyle e_{i}}$ il vettore della base e ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, otteniamo che

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+te_{i})-f(x_{0})-df_{x_{0}}(te_{i})}{t}}=0}$,

da questo segue immediatamente che

${\displaystyle df_{x_{0}}(e_{i})=\left(\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {tdf_{x_{0}}(e_{i})}{t}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {df_{x_{0}}(te_{i})}{t}}\right)=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+te_{i})-f(x_{0})}{t}}}$,

dove abbiamo usato la linearità dell'operatore differenziale nel punto e la linearità dell'operazione di limite.

Quindi, ${\displaystyle df_{x_{0}}(e_{i})}$ è la derivata direzionale di ${\displaystyle f}$ rispetto alla ${\displaystyle i}$-esima variabile. Si noti inoltre che ${\displaystyle df_{x_{0}}(e_{i})}$ è un vettore riga perché tale è la derivata direzionale di ${\displaystyle f}$.

Ripetendo tale ragionamento per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$ otteniamo che l'operatore differenziale ${\displaystyle df_{x_{0}}}$ è rappresentabile con una matrice che ha per righe le derivate direzionali della funzione ${\displaystyle f}$ rispetto alle sue variabili. L'azione di ${\displaystyle df_{x_{0}}}$ su un generico vettore ${\displaystyle h}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ è data dall'usuale prodotto righe per colonne. La matrice che rappresenta ${\displaystyle df_{x_{0}}}$è dunque la matrice Jacobiana.

Le seguenti regole valgono in tutti i diversi contesti in cui abbiamo definito il differenziale (funzioni da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, funzioni tra spazi di Banach e morfismi tra varietà differenziabili).

• Il differenziale è un operatore lineare, quindi se f e g sono due funzioni differenziabili in ${\displaystyle x_{0}}$ vale ${\displaystyle d(\alpha f+\beta g)(x_{0})=\alpha df(x_{0})+\beta dg(x_{0})}$;
• Vale la regola di Leibniz, ovvero se f e g sono due funzioni differenziabili in ${\displaystyle x_{0}}$ vale ${\displaystyle d(fg)(x_{0})=f(x_{0})dg(x_{0})+g(x_{0})df(x_{0})}$;
• Vale la regola della catena. Sia g una funzione differenziabile in ${\displaystyle x_{0}}$ e sia f una funzione differenziabile in ${\displaystyle g(x_{0})}$, allora ${\displaystyle d(f\circ g)(x_{0})=Df(g(x_{0}))dg(x_{0})}$.

Notiamo come le proprietà sopra riportate siano simili a corrispondenti proprietà godute dalla derivata di una funzione in un punto.

La funzione identità associa ${\displaystyle x}$ a sé stesso ed è lineare e differenziabile. Come ogni funzione lineare, il suo differenziale è uguale alla funzione stessa indipendente dal punto ${\displaystyle x_{0}}$ in cui lo si calcola. Se lo si indica con ${\displaystyle dx(x_{0})}$ si ha, indipendentemente da ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle dx(x_{0})(h)=h}$

Dal momento il differenziale per funzioni da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ agisce come il prodotto per la derivata, si ottiene:

${\displaystyle df(x)(h)=f'(x)h=f'(x)dx(h)}$

da cui:

${\displaystyle f'(x)={\frac {df(x)(h)}{dx(h)}}}$

Quindi, il rapporto delle due funzioni lineari (i due differenziali) è costante come funzione di ${\displaystyle h}$ ed è uguale alla derivata nel punto. In questo modo è possibile dare un senso rigoroso alla notazione di Leibniz, che esprime la derivata di una funzione come il quoziente tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente. Tuttavia, la trattazione svolta in questa forma non è in grado di giustificare le operazioni aritmetiche sui differenziali che, nella notazione di Leibniz, nonostante la mancanza di una base rigorosa forniscono un metodo mnemonico semplice per la scrittura di proprietà delle derivate. Per un recupero rigoroso dei metodi leibniziani è invece necessario rifarsi a metodi che appartengono all'analisi non standard, formulata da Abraham Robinson negli anni sessanta.

Ricordiamo qui in maniera informale alcuni risultati notevoli circa il differenziale:

• Teorema del differenziale totale. Tale teorema ci dice che sotto opportune condizioni di regolarità delle derivate parziali della funzione nell'intorno di un punto la funzione è differenziabile nel punto.
• Teorema della funzione implicita (di Dini). Tale teorema ci di che se se il differenziale di una funzione in più variabili non si annulla in un punto che soddisfa l'equazione ${\displaystyle f(x)=0}$, allora una o più coordinate si possono esplicitare in funzione delle altre, in modo che localmente la funzione ottenuta descriva il luogo dei punti che soddisfano l'equazione stessa.
• Teorema della funzione inversa. Tale teorema ci dice che una funzione è localmente invertibile li dove il differenziale è in isomorfismo tra spazi vettoriali, ovvero se è un omeomorfismo invertibile.

I differenziali di ordine superiore di una funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ di una sola variabile ${\displaystyle x}$ possono essere definiti nel modo seguente:

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2}}$

e più in generale:

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}}$

Informalmente, questo giustifica l'utilizzo della notazione di Leibniz per derivate di ordine superiore:

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}}$

Ad esempio nel caso di una funzione ${\displaystyle f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ in cui ${\displaystyle dx}$ non sia una forma chiusa, usando la regola di Leibniz per il prodotto tra funzioni si ha

${\displaystyle d^{2}f(x_{0})=d(df(x_{0}))=d(f'(x_{0})dx)=f''(x_{0})(dx)^{2}+f'(x_{0})d^{2}x}$.

Un altro esempio è dato dal differenziale ${\displaystyle n}$-esimo di una funzione ${\displaystyle f(x,y):\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$, con ${\displaystyle dx}$ e ${\displaystyle dy}$ forme non chiuse,

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k}}$

dove ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{k}}}$ è il coefficiente binomiale. In più variabili l'espressione è analoga a patto di utilizzare l'appropriata espansione multinomiale.

Lo stesso argomento in dettaglio: Differenziale esatto.

Un differenziale esatto ${\displaystyle df}$ è una 1-forma che ammette una primitiva, ovvero una funzione Q, detta anche potenziale, che soddisfa:

${\displaystyle dQ=df}$.

Essendo le 1-forme, quindi i differenziali, nello spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ della forma

${\displaystyle df=f_{1}(x1,\ldots ,x_{n})dx_{1}+\ldots +f_{n}(x1,\ldots ,x_{n})dx_{n}}$,

con ${\displaystyle f_{1}(x1,\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{n}(x1,\ldots ,x_{n})}$ opportune funzioni continue, allora la condizione richiesta risulta soddisfatta quando

${\displaystyle f_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\;\dots \;f_{n}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}}}$.

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1. (capitolo 3, paragrafo 29)
• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• Giuseppe De Marco, Analisi Due, Decibel-Zanichelli, 1999.
• (EN) Serge Lang, Undergraduate Analysis, Springer, 1997.
• (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993.
• (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1991.
• (EN) Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.

• 1-forma
• Differenziale esatto
• Derivata
• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Funzione continua
• Funzione differenziabile
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Subdifferenziale
• Trasformazione lineare

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• (EN) G.P. Tolstov, Differential, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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