In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Se ${\displaystyle Y}$ è un sottoinsieme di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$, la topologia indotta su ${\displaystyle Y}$ dalla topologia su ${\displaystyle X}$ è la seguente: un sottoinsieme ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle Y}$ è aperto se e solo se esiste un aperto ${\displaystyle V}$ di ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle V\cap Y=U}$. In altre parole, gli aperti di ${\displaystyle Y}$ sono le intersezioni degli aperti di ${\displaystyle X}$ (cioè gli aperti ${\displaystyle V}$) con ${\displaystyle Y}$.^[1][2] La topologia indotta si dice anche topologia relativa di ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle X}$.

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, ${\displaystyle Y}$ si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di ${\displaystyle X}$, mentre ${\displaystyle X}$ si dice spazio ambiente.

Alternativamente, si può definire la topologia su ${\displaystyle Y}$ in uno dei modi seguenti:

• La topologia su ${\displaystyle Y}$ è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione ${\displaystyle i\colon Y\to X}$ continua.
• La topologia su ${\displaystyle Y}$ è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico ${\displaystyle Z}$ una applicazione ${\displaystyle f\colon Z\to Y}$ è continua se e solo se lo è la sua composizione ${\displaystyle i\circ f\colon Z\to X}$ con l'inclusione ${\displaystyle i\colon Y\to X}$.

• I numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.

• Anche i numeri razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ma questa non è discreta.

• Consideriamo l'intervallo ${\displaystyle I=[0,1]}$ con la topologia indotta da ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Il sottoinsieme ${\displaystyle (0,1]}$ è aperto in ${\displaystyle I}$ ma non in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Intersecando tutti gli aperti di una base di ${\displaystyle X}$ con ${\displaystyle Y}$ si ottiene una base per ${\displaystyle Y}$.
• Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad ${\displaystyle Y}$ induce la topologia del sottoinsieme.
• Se ${\displaystyle X}$ è compatto e ${\displaystyle Y}$ è chiuso allora ${\displaystyle Y}$ è anch'esso compatto.
• Se ${\displaystyle X}$ è di Hausdorff allora anche ${\displaystyle Y}$ lo è.
• Gli insiemi chiusi di ${\displaystyle Y}$ sono le intersezioni di ${\displaystyle Y}$ con gli insiemi chiusi di ${\displaystyle X}$.

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.

• La topologia quoziente.
• La topologia prodotto.

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica