In matematica, in particolare in analisi funzionale, lo spazio delle successioni è uno spazio funzionale formato da tutte le successioni reali o complesse. Si tratta dell'insieme delle funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali ${\displaystyle \mathbb {N} }$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Definendo una somma, detta puntuale:

${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }+(y_{n})_{n=1}^{\infty }:=(x_{n}+y_{n})_{n=1}^{\infty }}$

e un prodotto per scalari:

${\displaystyle \lambda (x_{n})_{n=1}^{\infty }:=(\lambda x_{n})_{n=1}^{\infty }}$

lo spazio delle successioni viene dotato della struttura di spazio vettoriale.

Solitamente, vengono studiati appropriati sottospazi dello spazio di tutte le successioni. Un caso importante è dato dagli spazi l^p, solitamente denotati con ${\displaystyle \ell ^{p}}$, cioè gli spazi delle successioni tali che:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}<\infty }$

Essi infatti risultano essere spazi di Banach per ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Due sottocasi importanti del precedente sono lo spazio delle successioni limitate ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ e lo spazio delle successioni ${\displaystyle \ell ^{2}}$, che è uno spazio di Hilbert.

Un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ è lo spazio c delle successioni convergenti, formato da tutti gli ${\displaystyle x\in K^{N}}$ tali che ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ esiste. Si tratta di uno spazio chiuso rispetto alla norma ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, ed è pertanto uno spazio di Banach. Lo spazio c₀ delle successioni convergenti a zero è un sottospazio chiuso di c, e dunque anch'esso uno spazio di Banach.

Per ${\displaystyle 0<p<\infty }$, ${\displaystyle \ell ^{p}}$ è il sottospazio di ${\displaystyle K^{N}}$ formato dalle successioni ${\displaystyle x=(x_{n})}$ tali che:

${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty }$

Se ${\displaystyle p\geq 1}$ allora l'operazione ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}\to \mathbb {R} }$ definita da:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$

definisce una norma su ${\displaystyle \ell ^{p}}$. Lo spazio ${\displaystyle \ell ^{p}}$ è uno spazio metrico completo rispetto a tale norma, e dunque è uno spazio di Banach.

Se ${\displaystyle 0<p<1}$ lo spazio ${\displaystyle \ell ^{p}}$ non è munito di una norma, ma è caratterizzato da una distanza:

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}|x_{n}-y_{n}|^{p}}$

Se ${\displaystyle p=\infty }$ allora ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ è lo spazio di tutte le successioni limitate. Rispetto alla norma:

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$

è anche uno spazio di Banach.

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio l2.

Si definisce spazio ${\displaystyle \ell ^{2}}$ lo spazio delle successioni reali o complesse definito nel modo seguente:

${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {R} )=\left\{\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },x_{i}\in \mathbb {R} \ {\Bigg |}\ \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}<\infty \right\}}$

Lo spazio ${\displaystyle \ell ^{2}}$ è uno spazio vettoriale. Inoltre è uno spazio metrico se definiamo la distanza come:

${\displaystyle d({\vec {x}},{\vec {y}})=\left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}-y_{k}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

La dimostrazione è fatta utilizzando la disuguaglianza di Minkowski e la disuguaglianza di Hölder. Inoltre è uno spazio che ammette sottoinsiemi numerabili densi e ciò ci dice che è anche separabile.

Lo spazio c è lo spazio vettoriale formato da tutte le successioni convergenti ${\displaystyle (x_{n})}$ di numeri reali o complessi.

Definendo una norma uniforme:

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$

lo spazio c diventa uno spazio di Banach. Si tratta di un sottospazio vettoriale chiuso dello spazio delle successioni limitate ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, e contiene a sua volta (come suo sottospazio chiuso) lo spazio di Banach c₀ delle successioni che convergono a zero.

Lo spazio duale c* di c è isometricamente isomorfo a ${\displaystyle \ell ^{1}}$, come lo è il duale c*₀ di c₀. In particolare, né c né c₀ sono riflessivi. L'isomorfismo di ${\displaystyle \ell ^{1}}$ con c* è dato dal fatto che se ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots )\in \ell ^{1}}$ allora l'accoppiamento con un elemento ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\dots )}$ di c è dato da:

${\displaystyle x_{0}\lim _{n\to \infty }y_{n}+\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$

Si tratta di una versione del teorema di rappresentazione di Riesz. Per c₀ l'accoppiamento tra ${\displaystyle (x_{i})\in \ell ^{1}}$ e ${\displaystyle (y_{i})}$ in c₀ è invece definito da:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}}$

Lo spazio delle serie limitate, denotato con bs, è lo spazio delle successioni ${\displaystyle x}$ tali che:

${\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty }$

Definendo la norma:

${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert }$

lo spazio bs è uno spazio di Banach isometricamente isomorfo a ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ mediante la corrispondenza lineare:

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

Il sottospazio cs è composto da tutte le serie convergenti. Lo spazio Φ o c₀₀ è inoltre definito come lo spazio delle successioni infinite che possiedono un numero finito di termini non nulli (a supporto finito).

• Lo spazio delle successioni convergenti:

${\displaystyle c=\{(x_{n})_{n=1}^{\infty }:\exists M{\mbox{ tale che }}\lim _{n}|x_{n}-M|=0\}}$

• Lo spazio delle successioni infinitesime ${\displaystyle c_{0}}$, un sottocaso del precedente che si ottiene con ${\displaystyle M=0}$.
• Lo spazio ${\displaystyle \Phi }$ delle funzioni a supporto finito (cioè non nulle solo per un numero finito di indici).
• Lo spazio di Baire delle successioni di numeri naturali.

• H.R. Pitt, A note on bilinear forms, in J. London Math. Soc., vol. 11, n. 3, 1936, pp. 174–180, DOI:10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• J. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, in Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 151, 1921, pp. 79–111.

• Spazio l2
• Spazio Lp
• Successione (matematica)

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