In matematica, lo spazio duale o spazio duale algebrico di uno spazio vettoriale è un particolare spazio vettoriale che ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.

Sia ${\displaystyle V}$ un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-spazio vettoriale. Lo spazio duale di ${\displaystyle V}$, indicato con ${\displaystyle V^{*}}$, è formato da tutti i funzionali lineari

${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {K} .}$

La somma fra due funzionali lineari ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, e il prodotto fra ${\displaystyle f}$ e uno scalare ${\displaystyle \alpha }$ sono definiti nel modo seguente: per ogni ${\displaystyle {\textbf {v}}\in V}$ si ha

${\displaystyle (f+g)({\textbf {v}}):=f({\textbf {v}})+g({\textbf {v}});}$

${\displaystyle (\alpha f)({\textbf {v}}):=\alpha f({\textbf {v}}).}$

Con queste operazioni, l'insieme ${\displaystyle V^{*}}$ assume effettivamente la struttura algebrica di spazio vettoriale.^[1] In simboli, si può scrivere:

${\displaystyle V^{*}={\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} ),}$

dove la notazione ${\displaystyle {\rm {Hom}}(V,W)}$ indica, in generale, lo spazio vettoriale formato da tutte le applicazioni lineari fra due spazi vettoriali ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Base duale.

Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione finita ${\displaystyle n}$, allora ${\displaystyle V^{*}}$ ha la stessa dimensione di ${\displaystyle V}$.^[2] Usando le matrici si dimostra infatti che

${\displaystyle \dim {\rm {Hom}}(V,W)=\dim V\cdot \dim W.}$

In questo caso si ottiene:

${\displaystyle \dim V^{*}=\dim {\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} )=n\cdot 1=n.}$

Data una base di ${\displaystyle V}$, è possibile costruire una base duale di ${\displaystyle V^{*}}$ nel modo seguente. Se

${\displaystyle B=\{{\textbf {v}}_{1},\dots ,{\textbf {v}}_{n}\}}$

è una base per ${\displaystyle V}$, la base duale

${\displaystyle B^{*}=\{{\textbf {v}}_{1}^{*},\dots ,{\textbf {v}}_{n}^{*}\}}$

è definita dalle relazioni:

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}^{*}({\textbf {v}}_{j})={\begin{cases}1,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\mbox{se }}i\neq j.\end{cases}}}$

In altre parole, il funzionale ${\displaystyle v_{i}^{*}}$ è definito come l'unico funzionale che manda ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}}$ in 1 e tutti gli altri elementi ${\displaystyle {\textbf {v}}_{j}}$ della base in zero.

Quindi l'applicazione:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{B}\colon V\longrightarrow V^{*}\\\qquad \qquad {\textbf {v}}_{i}\longmapsto \phi _{B}({\textbf {v}}_{i})={\textbf {v}}_{i}^{*}\end{matrix}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}}$

è un isomorfismo che però dipende dalla scelta della base, quindi non canonico.

Più concretamente, se ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è lo spazio dei vettori colonna con ${\displaystyle n}$ componenti, lo spazio duale ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ è lo spazio dei vettori riga con ${\displaystyle n}$ componenti: ciascun vettore riga ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna ${\displaystyle {\textbf {w}}}$ nello scalare ${\displaystyle {\textbf {v}}\cdot {\textbf {w}}}$ ottenuto moltiplicando ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ e ${\displaystyle {\textbf {w}}}$ tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},\dots ,{\textbf {e}}_{n}\}}$ è la base canonica di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, allora ${\displaystyle {\textbf {e}}_{i}^{*}}$ è semplicemente la trasposta di ${\displaystyle {\textbf {e}}_{i}}$.

Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione infinita, la costruzione di ${\displaystyle {\textbf {e}}^{i}}$ descritta sopra produce dei vettori indipendenti in ${\displaystyle V^{*}}$, ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti ${\displaystyle V^{*}}$ ha dimensione maggiore di ${\displaystyle V}$, nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.

Ad esempio, lo spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ di tutte le successioni di numeri reali, e ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di ${\displaystyle \mathbb {R} }$). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza (${\displaystyle a_{n}}$) di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ è il funzionale che manda l'elemento (${\displaystyle x_{n}}$) di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ nello scalare ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n}}$.

Sia ${\displaystyle V}$ un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-spazio vettoriale. Allora ${\displaystyle V^{**}}$ è definito in questo modo:

${\displaystyle V^{**}:=(V^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (V^{*},\mathbb {K} )}$

e viene detto spazio biduale di ${\displaystyle V.}$

Quindi lo spazio biduale ${\displaystyle V^{**}}$ di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ è ottenuto prendendo il duale dello spazio ${\displaystyle V^{*}}$.

Se ${\displaystyle {\displaystyle V^{**}}}$ ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di ${\displaystyle V^{*}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{B^{*}}\colon V^{*}&\to V^{**},\\{\textbf {v}}_{i}^{*}&\mapsto \phi _{B^{*}}({\textbf {v}}_{i}^{*})={\textbf {v}}_{i}^{**},\end{aligned}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\},}$

è un isomorfismo (non canonico) da ${\displaystyle V^{*}}$ in ${\displaystyle V^{**}}$.

A differenza di ${\displaystyle V^{*}}$, se ${\displaystyle V}$ ha dimensione finita lo spazio ${\displaystyle V^{**}}$ è canonicamente isomorfo a ${\displaystyle V}$, tramite un isomorfismo canonico ${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$ che non dipende da nessuna scelta della base, definito come segue:

${\displaystyle (\Psi ({\textbf {v}}))(\phi )=\phi ({\textbf {v}}),}$

dove ${\displaystyle {\textbf {v}}\in V}$ e ${\displaystyle \phi \in V^{*}}$.

Inoltre per ogni ${\displaystyle B}$ base ${\displaystyle \Psi =\phi _{B^{*}}\circ \phi _{B}}$.

Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione infinita, la mappa ${\displaystyle \Psi }$ è solamente iniettiva.

Sia ${\displaystyle V}$ un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-spazio vettoriale, sia ${\displaystyle \Psi \colon V\to V^{**}}$ l'isomorfismo canonico da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle V^{**}}$ e sia ${\displaystyle v}$ un elemento di ${\displaystyle V}$. Allora:

${\displaystyle \operatorname {Ann} (v)=\operatorname {Ker} (\Psi (v))=\{f\in V^{*}|f(v)=0\}}$

e viene detto annullatore di ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V}$.

Se si estende questa definizione a un qualsiasi sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle V}$ si ottiene:

${\displaystyle \mathrm {Ann} (S)=\bigcap _{s\in S}\mathrm {Ann} (s)=\bigcap _{s\in S}\operatorname {Ker} (\Psi (s))=\{f\in V^{*}|f[S]=\{0\}\}=\{f\in V^{*}|f_{|S}=0\}.}$

• Per ogni ${\displaystyle S\subseteq V,}$ si ha che ${\displaystyle \mathrm {Ann} (S)}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V^{*}.}$
• Se ${\displaystyle S\subseteq T,}$ allora ${\displaystyle \mathrm {Ann} (T)\subseteq \mathrm {Ann} (S).}$
• ${\displaystyle \mathrm {Ann} (S)=\mathrm {Ann} (\mathrm {Span} (S)).}$
• Se ${\displaystyle U}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle \dim U=k,}$ allora ${\displaystyle \dim \mathrm {Ann} (U)=n-k.}$
• Se ${\displaystyle f\in V^{*},}$ allora ${\displaystyle \mathrm {Ann} (f)=\Psi (\operatorname {Ker} f).}$
• Se ${\displaystyle U}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V,}$ allora ${\displaystyle \mathrm {Ann} (\mathrm {Ann} (U))=\Psi (U).}$

Se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, si definisce la sua trasposta ${\displaystyle f^{T}\colon W^{*}\to V^{*}}$ nel modo seguente:

${\displaystyle (f^{T})(\phi )=\phi \circ f,}$

dove ${\displaystyle \phi }$ è un funzionale in ${\displaystyle W^{*}}$.

In altre parole, si associa un funzionale su ${\displaystyle V}$ ad uno su ${\displaystyle W}$ tramite composizione con ${\displaystyle f}$. La funzione ${\displaystyle f^{T}\colon W^{*}\to V^{*}}$ è lineare e ${\displaystyle (f^{T})^{T}=f}$ a meno dell'identificazione ${\displaystyle \Psi _{1}\colon V\to V^{**}}$ e ${\displaystyle \Psi _{2}\colon W\to W^{**}}$, ossia:

${\displaystyle f=\Psi _{2}^{-1}\circ (f^{T})^{T}\circ \Psi _{1}.}$

Inoltre ${\displaystyle \operatorname {Ker} f^{T}=\mathrm {Ann} (\operatorname {Im} f)}$ e ${\displaystyle \operatorname {Im} f^{T}=\operatorname {Ann} (\operatorname {Ker} f)}$ e se ${\displaystyle A}$ è la matrice associata a ${\displaystyle f}$ rispetto a due basi di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$, allora la trasposta ${\displaystyle A^{T}}$ è la matrice associata a ${\displaystyle f^{T}}$ rispetto alle basi duali di ${\displaystyle W^{*}}$ e ${\displaystyle V^{*}}$.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali e i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali su ${\displaystyle \mathbb {K} }$ in sé.

Per quanto detto sopra, se ${\displaystyle V}$ ha dimensione finita gli spazi ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$ sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per ${\displaystyle V}$. Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo ${\displaystyle \Phi }$ da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle V^{*}}$ definisce una forma bilineare non degenere su ${\displaystyle V}$ nel modo seguente:

${\displaystyle \langle {\textbf {v}},{\textbf {w}}\rangle =(\Phi ({\textbf {v}}))({\textbf {w}})}$

e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$.

Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di ${\displaystyle V}$. Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.

Lo spazio duale topologico ${\displaystyle V'}$ dello spazio vettoriale topologico ${\displaystyle V}$ è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su ${\displaystyle V}$.^[3] Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione finita, gli spazi duali algebrico ${\displaystyle V^{*}}$ e topologico ${\displaystyle V'}$ coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se ${\displaystyle V}$ ha dimensione infinita. La definizione data si riduce a quella di spazio duale algebrico anche nel caso in cui si considera lo spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo ${\displaystyle V'}$ di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è uno spazio normato completo, ovvero spazio di Banach, e la norma ${\displaystyle \|\phi \|}$ di un funzionale lineare continuo ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle V}$ è definita come:^[3]

${\displaystyle \|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}.}$

La continuità di ${\displaystyle \phi }$ garantisce che ${\displaystyle \|\phi \|}$ sia un numero finito. ${\displaystyle V'}$ è sempre uno spazio di Banach, anche se ${\displaystyle V}$ non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su ${\displaystyle V}$ ne induce uno su ${\displaystyle V'}$ in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.

In uno spazio vettoriale topologico generico, tuttavia, per definire la nozione di limitatezza è necessario ricorrere, invece che a nozioni come la distanza o l'usuale norma, agli intorni dell'origine: dato uno spazio vettoriale topologico ${\displaystyle (X,\tau )}$ su un campo ${\displaystyle F}$, un insieme ${\displaystyle E\subset X}$ è detto limitato nella topologia ${\displaystyle \tau }$ se e solo se per ogni intorno ${\displaystyle D}$ dell'origine esiste un numero reale positivo ${\displaystyle \alpha }$ (dipendente da ${\displaystyle D}$) tale che ${\displaystyle E\subset \alpha D}$, ovvero ${\displaystyle E}$ deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine. In altri termini, un insieme è limitato se è un insieme assorbente per ogni intorno del vettore zero.

La caratterizzazione con una topologia dello spazio duale continuo ${\displaystyle V'}$ di uno spazio vettoriale topologico ${\displaystyle V}$, dunque, avviene grazie a una classe ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ di sottoinsiemi limitati di ${\displaystyle V}$ in modo che la topologia è generata da una famiglia di seminorme della forma:

${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$

dove ${\displaystyle \varphi }$ è un funzionale lineare continuo definito su ${\displaystyle V}$, e ${\displaystyle A}$ spazia nella classe ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. A questa topologia è associata la convergenza uniforme di funzionali definiti sugli insiemi di ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$:

${\displaystyle \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0,\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}.}$

Solitamente si suppone che la classe ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ soddisfi le seguenti condizioni:

• Ogni punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle V}$ appartiene a qualche insieme ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.
• Ogni coppia di insiemi ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ e ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ è contenuta in qualche insieme ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$.
• La classe ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ è chiusa rispetto all'operazione di moltiplicazione per scalare.

Se queste condizioni sono soddisfatte allora la corrispondente topologia su ${\displaystyle V'}$ è di Hausdorff, e gli insiemi:

${\displaystyle U_{A}=\{x\in V:||\varphi ||_{A}<1\},\qquad A\in {\mathcal {A}}}$

costituiscono una sua base locale.

Sia ${\displaystyle p}$ un numero reale maggiore di 1. Lo spazio l^p è l'insieme di tutte le successioni ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})}$ tali che

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$

è finito. Sia ${\displaystyle p^{*}}$ il numero per cui vale ${\displaystyle 1/p+1/p^{*}=1}$. Allora il duale continuo di ${\displaystyle l^{p}}$ è identificato in modo naturale con ${\displaystyle l^{p^{*}}}$ nel modo seguente: dato un funzionale continuo ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle l^{p}}$, l'elemento corrispondente in ${\displaystyle l^{p}}$ è la successione ${\displaystyle (\phi (\mathbf {e} _{n}))}$, dove ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ è la successione il cui ${\displaystyle n}$-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})\in l^{p^{*}}}$, il funzionale lineare continuo corrispondente ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle l^{p}}$ è definito come:

${\displaystyle \phi (\mathbf {a} )=\sum _{n}a_{n}b_{n},}$

per ogni ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})\in l^{p}}$. L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Hölder.

Si nota che ${\displaystyle p^{**}=p}$: anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di ${\displaystyle l^{1}}$ è identificato in modo naturale con lo spazio ${\displaystyle l^{\infty }}$ delle successioni limitate, ma il duale continuo di ${\displaystyle l^{\infty }}$ è uno spazio "più grande" di ${\displaystyle l^{1}}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio riflessivo.

Il biduale topologico ${\displaystyle V^{**}}$ è definito quindi come il duale topologico di ${\displaystyle V^{*}}$. Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva, detta mappa di James:

${\displaystyle \Psi \colon V\to V^{**}.}$

A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se ${\displaystyle V}$ ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio ${\displaystyle V}$ si dice riflessivo^[4]. In particolare, uno spazio localmente convesso è riflessivo se coincide con il duale continuo del suo duale continuo sia come spazio topologico che come spazio vettoriale.

Ogni spazio di Hilbert è riflessivo^[5]. Anche gli spazi di Banach L^p per ${\displaystyle p>1}$ sono riflessivi^[6], ma ${\displaystyle L^{1}}$ e ${\displaystyle L^{\infty }}$ non lo sono.

Se la chiusura di uno spazio ${\displaystyle D}$ è lo spazio duale di un altro spazio, allora ${\displaystyle D}$ è detto spazio preduale o semplicemente preduale.^[7]

• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.
• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

• Base duale
• Covarianza e controvarianza
• Funzionale lineare
• Spazio di Hilbert
• Spazio riflessivo
• Spazio vettoriale
• spazio vettoriale topologico
• Trasformazione lineare

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su spazio duale

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio duale, su MathWorld, Wolfram Research.

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