In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.
Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico :
- l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
- l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
- l'intero insieme e l'insieme vuoto sono chiusi.
Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia degli aperti complementari.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
- i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
- gli intervalli , con e numeri reali finiti;
- gli intervalli e , con e numeri reali finiti;
- i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
- l'insieme di Cantor.
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle (-\infty ,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9d3156528d17e410760f1d0cd5034f6011a635)
Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
- gli intervalli e , con e numeri reali finiti;
- il sottoinsieme dei numeri razionali.
![{\displaystyle (a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6969e731af335df071e247ee7fb331cd1a57ae)
Altri esempi di insiemi chiusi sono:
- un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
- un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a dimensioni. Più in generale l'insieme
dove è un punto dello spazio ed un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico con topologia indotta dalla metrica .
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]- Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
- Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
- La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
- In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
- Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
- La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
- (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Spazio topologico
- Chiusura (topologia)
- Insieme localmente chiuso
- Insieme denso
- Insieme aperto
- Frontiera (topologia)
- Parte interna
- Spazio compatto
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) closed set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Insieme chiuso, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Insieme chiuso, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
