In matematica, una famiglia di polinomi per dove per ogni si ha un polinomio di grado , si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso positiva nell'intervallo scelto se
Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi e dia
Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:
- I polinomi di Hermite e , ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità.
- I polinomi di Čebyšëv di prima specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
- I polinomi di Čebyšëv di seconda specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
- I polinomi di Legendre, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità uniforme.
- I polinomi di Gegenbauer, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
- I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
- I polinomi di Laguerre con , ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:
dove gli sono numeri interi nell'intervallo . Con questa definizione,
- i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con );
- i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con ).
Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.
Polinomi ortonormali
[modifica | modifica wikitesto]In linea con la definizione di base ortonormale, dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:
per ogni .
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Milton Abramowitz e Irene Stegun, capitolo 22, Handbook of Mathematical Functions New York, Dover, 1964.
- W. H. Thomas, http://handle.dtic.mil/100.2/ADA256448[collegamento interrotto], Monterey, 1992.
- Roelof Koekoek e René F. Swarttouw, The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue[collegamento interrotto], Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics, 1998, Report no. 98-17.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su polinomi ortogonali
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Alfio Quarteroni, polinomi ortogonali, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
- (EN) Eric W. Weisstein, Polinomi ortogonali, su MathWorld, Wolfram Research.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 38387 · LCCN (EN) sh85095794 · GND (DE) 4172863-4 · BNE (ES) XX535339 (data) · BNF (FR) cb11938460c (data) · J9U (EN, HE) 987007553354205171 |
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