Il numero e fu introdotto nel 1683 da Jacob Bernoulli. Più di mezzo secolo dopo, Eulero, che fu uno studente di Johann Bernoulli (fratello minore di Jacob), dimostrò che ${\displaystyle e}$ è irrazionale; cioè, non può essere espresso come rapporto tra due interi.

Eulero scrisse la prima dimostrazione dell'irrazionalità di ${\displaystyle e}$ nel 1737 (ma il testo venne pubblicato solamente sette anni dopo).^[1][2][3] Il matematico svizzero calcolò la rappresentazione di ${\displaystyle e}$ come frazione continua semplice, che è

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].}$

Poiché questa frazione continua è infinita mentre ogni numero razionale è rappresentato da una finita, ${\displaystyle e}$ è irrazionale. Per una breve dimostrazione della frazione continua di ${\displaystyle e}$, vedere Cohn (2006). ^[4][5] Poiché la frazione continua di ${\displaystyle e}$ non è periodica, questo dimostra anche che ${\displaystyle e}$ non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare, ${\displaystyle e^{2}}$ è irrazionale.

La dimostrazione più conosciuta è quella di Joseph Fourier procedendo per assurdo,^[6] che si basa sull'identità

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot }$

Si supponga che ${\displaystyle e}$ sia un numero razionale. Allora esistono ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ interi positivi tale che ${\displaystyle e=a/b}$. Da notare che ${\displaystyle b}$ non può essere uguale a 1 dato che ${\displaystyle e}$ non è un intero. Si può dimostrare utilizzando la precedente identità che ${\displaystyle e}$ è strettamente compreso tra ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle 3}$:

${\displaystyle 2=1+{\tfrac {1}{1!}}\ \ <\ \ e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots \ \ <\ \ 1+(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots )\ \ =\ \ 3.}$

Si definisca il numero

${\displaystyle x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}.}$

Se ${\displaystyle e}$ è razionale, allora ${\displaystyle x}$ è un intero, infatti sostituendo ${\displaystyle e=a/b}$ nella definizione di ${\displaystyle x}$ si ottiene

${\displaystyle x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.}$

Il primo termine è un intero, e ogni frazione nella somma è in effetti anch'essa un intero poiché ${\displaystyle n\leq b}$ per ogni termine. Pertanto, ${\displaystyle x}$ è un intero.

Si dimostra ora che ${\displaystyle 0<x<1}$. Prima, per mostrare che ${\displaystyle x}$ è strettamente positivo, si inserisce la rappresentazione in serie di ${\displaystyle e}$ nella definizione di ${\displaystyle x}$, da cui si ricava

${\displaystyle x=b!\,{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,,}$

poiché tutti i termini sono strettamente positivi.

Resta da dimostrare che ${\displaystyle x<1}$. Per tutti i termini con ${\displaystyle n\geq b+1}$ si ha la stima superiore

${\displaystyle {\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}<{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,.}$

Questa disuguaglianza è stretta per ogni ${\displaystyle n\geq b+2}$. Cambiando l'indice della sommatoria in ${\displaystyle k=n-b}$ e utilizzando la formula della serie geometrica, si ottiene

${\displaystyle x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.}$

Dal momento che non esistono degli interi strettamente compresi tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$, si è ottenuta una contraddizione e quindi ${\displaystyle e}$ deve essere irrazionale. Q.E.D.

Si può ottenere un'altra dimostrazione^[7] da quella precedente notando che

${\displaystyle (b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,}$

e questa disuguaglianza è equivalente a ${\displaystyle bx<1}$. Questo è ovviamente impossibile, poiché ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle x}$ sono numeri naturali.

Un'altra dimostrazione ancora^[8][9] deriva dal fatto che

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot }$

Si definisca ${\displaystyle s_{n}}$ come segue:

${\displaystyle s_{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$

${\displaystyle e^{-1}-s_{2n-1}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}-\displaystyle \sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}}}$

Questo implica che ${\displaystyle 0<(2n-1)!(e^{-1}-s_{2n-1})<{\frac {1}{2k}}\leq {\frac {1}{2}}}$ per ogni intero ${\displaystyle n\geq 2}$

Si nota che ${\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}$ è sempre un intero. Si assuma che ${\displaystyle e^{-1}}$ sia razionale.

Quindi, ${\displaystyle e^{-1}={\frac {p}{q}}}$ dove ${\displaystyle p,q}$ sono coprimi e ${\displaystyle q\neq 0}$. È possibile scegliere ${\displaystyle n}$ propriamente in modo che ${\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}$ sia un intero, cioè prendendo ${\displaystyle n\geq {\frac {q+1}{2}}}$.

Perciò, con questa scelta, la differenza tra ${\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}$ e ${\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}$ dovrebbe essere un intero. Ma segue dalla disuguaglianza precedente che è impossibile. Quindi, ${\displaystyle e^{-1}}$ è irrazionale. Questo significa che ${\displaystyle e}$ è irrazionale.

Nel 1840, Liouville pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di ${\displaystyle e^{2}}$^[10] seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali.^[11] Questo ultimo risultato implica che ${\displaystyle e^{4}}$ è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di ${\displaystyle e}$. Nel 1891, Hurwitz spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che ${\displaystyle e}$ non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali.^[12] In particolare, ${\displaystyle e^{3}}$ è irrazionale.

Più in generale, ${\displaystyle e^{q}}$ è irrazionale per ogni ${\displaystyle q}$ razionale diverso da zero.^[13]

• Definizioni della funzione esponenziale
• Dimostrazione della irrazionalità di π
• Teorema di Lindemann-Weierstrass

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su dimostrazione della irrazionalità di e

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