In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo, come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.

Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto puntiforme che si muove con continuità in qualche spazio. Per definire la curva si fa ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.

In topologia, una curva è una funzione vettoriale continua

${\displaystyle f:I\rightarrow X}$

dove ${\displaystyle I}$ è un intervallo della retta reale e ${\displaystyle X}$ è un qualsiasi spazio topologico.

Ad esempio, ${\displaystyle X}$ può essere il piano cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ o un generico spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$. L'intervallo ${\displaystyle I}$ può essere ad esempio un intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$, un intervallo aperto ${\displaystyle (a,b)}$, una semiretta ${\displaystyle [a,+\infty )}$, ecc.

L'immagine di una curva ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ viene anche chiamata sostegno, o supporto, della curva. Spesso, con un abuso di linguaggio, per "curva" si intende il sostegno e non la funzione. In topologia, quando l'intervallo di partenza ${\displaystyle I}$ è quello unitario ${\displaystyle [0,1]}$ si parla di cammino o arco.

Ad esempio, una circonferenza è il sostegno della curva

${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}\qquad f(t)=e^{2\pi it}=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)).}$

Una curva ${\displaystyle f:[a,b]\to X}$ che coincide sui suoi estremi, cioè tale che ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, è una curva chiusa o un laccio.

Una curva ${\displaystyle f:[a,b]\to X}$ si dice semplice se è tale che presi due punti distinti ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, di cui almeno uno appartenente all'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$, risulta ${\displaystyle f(x_{1})\neq f(x_{2})}$. In altre parole la funzione ${\displaystyle f}$ è quasi iniettiva e la curva non ha autointersezioni con un'unica eccezione ammessa: ${\displaystyle f(a)=f(b).}$

Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan, quindi una circonferenza è una curva di Jordan.

Una curva piana è una curva a valori nel piano cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

Se ${\displaystyle p:I\rightarrow I}$ è un omeomorfismo crescente dell'intervallo, ad esempio una funzione derivabile e biettiva con derivata positiva, allora ${\displaystyle g=f\circ p}$ ottenuta componendo ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle f}$ è un'altra curva avente lo stesso sostegno di ${\displaystyle f}$. Si dice che ${\displaystyle g}$ è un'altra parametrizzazione della curva ${\displaystyle f}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria differenziale delle curve.

Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore" che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non si fissano delle condizioni aggiuntive. Ad esempio nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva, nota ora come curva di Peano, avente come sostegno un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff compresa tra uno e due, un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta e il piano.

Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del sostegno è la differenziabilità: se ${\displaystyle X}$ è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che ${\displaystyle f}$ sia differenziabile in ogni punto e in questo caso si parla di curva differenziabile o regolare. In una curva differenziabile, per ogni ${\displaystyle t\in I}$ è definita una tangente alla curva in ${\displaystyle f(t)}$: la tangente è il vettore delle derivate di ${\displaystyle f}$.

Se si immagina di percorrere la curva nel tempo, la lunghezza del vettore tangente è la velocità della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno e questo parametro è la lunghezza d'arco.

In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" anche se queste dovessero presentare uno più punti di cuspide e/o più punti angolosi. Per questo scopo si definisce una curva regolare a tratti come una curva il cui dominio ${\displaystyle I}$ è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo ${\displaystyle I}$ in alcuni intervalli ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$ tali che la restrizione della curva su ciascun ${\displaystyle I_{j}}$ sia regolare.

Lo stesso argomento in dettaglio: Curva nello spazio.

Due modi utilizzati per rappresentare una curva in tre dimensioni sono la forma cartesiana e la forma parametrica.

È possibile rappresentare una curva tridimensionale in forma implicita identificando il suo supporto con il luogo di zeri di un campo vettoriale ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$, ovvero i punti di coordinate ${\displaystyle (x,y,z)}$ che verificano il sistema:

${\displaystyle C:{\begin{cases}f(x,y,z)=0\\g(x,y,z)=0\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni di classe almeno ${\displaystyle C^{1}}$ a valori reali. Questa rappresentazione può essere pensata come curva intersezione di due superfici in forma implicita.

Condizione sufficiente per la regolarità locale di una curva così rappresentata nell'intorno di un suo punto ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ è che la jacobiana:

${\displaystyle J={\frac {\partial \Phi (x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial (x,y,z)}}}$

abbia rango massimo

Una curva in forma parametrica è una funzione vettoriale di una sola variabile ${\displaystyle \alpha (t):I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}}$ del tipo:^[1]

${\displaystyle \alpha (t)=(\alpha _{1}(t),\alpha _{2}(t),\alpha _{3}(t)).}$

Si può scrivere anche:

${\displaystyle \alpha (t):{\begin{cases}x=\alpha _{1}(t)\\y=\alpha _{2}(t)\\z=\alpha _{3}(t)\end{cases}}}$

La variabile ${\displaystyle t\in I}$ si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe ${\displaystyle C^{1}\ }$ in un intervallo se le funzioni ${\displaystyle \alpha _{1}(t)\ }$, ${\displaystyle \alpha _{2}(t)\ }$ e ${\displaystyle \alpha _{3}(t)\ }$ hanno derivate continue in questo intervallo. Una curva ${\displaystyle C^{1}\ }$ si dice regolare in un punto ${\displaystyle t_{0}\ }$ se:

${\displaystyle \phi '(t_{0})=(\alpha _{1}^{'}(t_{0}),\alpha _{2}^{'}(t_{0}),\alpha _{3}^{'}(t_{0}))\neq (0,0,0)}$

e regolare in ${\displaystyle I}$ se ciò vale in ogni punto di ${\displaystyle I\ }$. Un punto in cui si abbia ${\displaystyle \alpha '(t_{0})=(0,0,0)\ }$ si dice punto singolare per la curva.

Lo stesso argomento in dettaglio: Lunghezza di un arco.

Se ${\displaystyle (X,d)}$ è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to X}$ e una partizione dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ cioè un insieme finito di punti ${\displaystyle \rho =\{t_{k}\}_{k}^{n}}$ tale che:

${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b.}$

Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite ${\displaystyle \varphi }$. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.

Si può definire la lunghezza della curva ${\displaystyle f}$ come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\varphi )=&\sup _{\rho }\left[d(\varphi (t_{0}),\varphi (t_{1}))+...+d(\varphi (t_{n-1}),\varphi (t_{n}))\right]=\sup _{\rho }\sum _{i=1}^{n}d(\varphi (t_{i}),\varphi (t_{i-1}))=\\=&\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}d(\varphi (t_{i}),\varphi (t_{i-1})):n\in \mathbb {N} {\mbox{ e }}a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b\right\}\end{aligned}}}$

Se questo valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.

La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano parametrizzazioni equivalenti.

Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto ${\displaystyle t}$ dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su ${\displaystyle I:}$

${\displaystyle L(\varphi )=\int _{I}||{\dot {\varphi }}(t)||\,dt,}$

usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:

${\displaystyle L(\varphi )=\int _{\varphi }dt.}$

• Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
• Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
• E. H. Lockwood A Book of Curves (1961, Cambridge)

• Arco (topologia)
• Curva piana
• Curva nello spazio
• Punto singolare di una curva
• Differenziabilità
• Derivata
• Geometria analitica
• Geometria differenziale delle curve
• Glossario sulle curve matematiche
• Lunghezza di un arco
• Superficie
• Tangente (geometria)
• Teorema delle funzioni implicite

• Wikiquote contiene citazioni sulle curva
• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «curva»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle curva

• (EN) curve, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Curva, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A Visual Dictionary of Special Plane Curves curato da Xah Lee
• (EN) Famous Curves Index Archiviato il 13 aprile 2006 in Internet Archive. in MacTutor
• (EN) Articolo in MathWorld
• (EN) Mathematical curves curato da jan wassenaar
• Indice delle curve tridimensionali nel sito Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables, cioè mathcurve.com
• (EN) Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
• (EN) Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
• (EN) Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses, su faculty.evansville.edu.
• (EN) Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses, su faculty.evansville.edu.

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica