Serie sommativa unitaria

In matematica, la serie sommativa unitaria, indicata anche come 1 + 1 + 1 + 1 + ... è una serie divergente. Essa è rappresentabile mediante sommatoria come

\sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+1+\cdots

Troncando al termine $m$ -esimo si ha:

\sum _{n=1}^{m}1=m.

Talvolta viene utilizzata, in modo informale, la seguente uguaglianza:

1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.

Occorre però ricordare che questa uguaglianza non è formalmente corretta fintantoché si considera la definizione usuale di serie infinita, in quanto la serie sommativa unitaria è una serie divergente. Una delle motivazioni di tale scrittura è la seguente: se si considera, informalmente, la serie sommativa unitaria come un caso particolare della funzione zeta di Riemann (valutata nel punto 0)

\zeta (0)={\frac {1}{1^{0}}}+{\frac {1}{2^{0}}}+{\frac {1}{3^{0}}}+\cdots =1+1+1+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }1

.

e si utilizza il prolungamento analitico di tale funzione per dimostrare che:

\zeta (0)=-{1 \over 2},

si arriva scrivere $1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.$ Questo ragionamento non è tuttavia corretto in quanto la definizione di $\zeta$ in forma di serie non è valida in 0 (e non lo è in generale per tutti i numeri aventi parte reale minore o uguale a 1). Possiamo al massimo dire che esiste un "collegamento indiretto" tra la serie sommativa unitaria (intesa in senso usuale) e il valore -1/2.

Il fisico spagnolo Emilio Elizalde ha raccontato un aneddoto su questa serie:^[1]

«In un breve periodo di meno di un anno, due fisici distinti, A. Slavnov e F. Yndurain davano seminari a Barcellona, su diverse materie. Era notevole come in entrambe le presentazioni a un certo punto il relatore precisasse con queste parole: "Come tutti sanno 1 + 1 + 1 + ... = -1/2"; forse intendendo: "Se non lo sai è inutile che continui ad ascoltare".»