Distribuzione continua uniforme

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Distribuzione continua uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ su un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<b\ }$
Supporto	${\displaystyle S=[a,b]\ }$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}}$ su ${\displaystyle S\ }$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle {\frac {x-a}{b-a}}}$ per ${\displaystyle x\in S}$
Valore atteso	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle 0}$
Curtosi	${\displaystyle -{\frac {6}{5}}}$
Entropia	${\displaystyle \log(b-a)\ }$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle {\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle {\frac {e^{ibt}-e^{iat}}{ibt-iat}}}$
Manuale

In teoria delle probabilità la distribuzione continua uniforme è una distribuzione di probabilità continua che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità a tutti i punti appartenenti ad un dato intervallo [a,b] contenuto nell'insieme.

La distribuzione continua uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(S)}$ su un insieme misurabile S, di misura finita non nulla, è una distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti i sottoinsiemi di S con la stessa misura la stessa probabilità di verificarsi.

La sua densità di probabilità è un multiplo della funzione indicatrice dell'insieme S,

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mu (S)}}\ 1_{S}={\begin{cases}1/\mu (S)&x\in S\\0&x\not \in S\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle \mu (S)}$ è la misura dell'insieme S.

In particolare ogni sottoinsieme misurabile A di S ha una probabilità di verificarsi proporzionale alla propria misura:

${\displaystyle P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (S)}}}$.

La distribuzione uniforme continua viene solitamente definita su un intervallo ${\displaystyle S=[a,b]\subset \mathbb {R} }$; in questo caso viene indicata ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)={\mathcal {U}}([a,b])}$.

La sua densità di probabilità è

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}}$ su ${\displaystyle [a,b]}$.

Come intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, inoltre, viene spesso preso l'intervallo unitario ${\displaystyle I=[0,1]}$, che può essere sempre ricondotto al caso precedente tramite una trasformazione lineare, ovvero considerando la variabile aleatoria ${\displaystyle Y=a+(b-a)X}$ al posto di ${\displaystyle X}$. In particolare, la variabile aleatoria 1-X segue la stessa distribuzione ${\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1)}$.

In questo caso la densità di probabilità diventa

${\displaystyle f(x)=1}$ su ${\displaystyle I}$,

la funzione di ripartizione è

${\displaystyle F(x)=x}$ su ${\displaystyle I}$,

e la probabilità di un intervallo ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\subset I}$ è pari alla sua lunghezza:

${\displaystyle P([x_{1},x_{2}])=x_{2}-x_{1}\ }$

(nel caso generale la probabilità di un intervallo è proporzionale alla sua lunghezza).

Per il calcolo delle probabilità i singoli valori f(0) e f(1) sono ininfluenti: basta che la densità di probabilità resti invariata quasi ovunque. Talvolta vengono posti pari a 0, prendendo la funzione indicatrice dell'intervallo aperto ${\displaystyle ]0,1[}$, o a 1/2, prendendo come densità di probabilità la funzione rettangolo (in questo caso la distribuzione è anche chiamata distribuzione rettangolare).

Se X è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1)}$, allora ${\displaystyle Y=a+(b-a)X}$ è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$, le cui caratteristiche si ricavano facilmente da quelle di X.

Le due variabili aleatorie hanno

• speranza matematica

${\displaystyle E[X]={\frac {1}{2}},\qquad E[Y]=a+(b-a)E[X]={\frac {a+b}{2}}}$;

• varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {1}{12}},\qquad {\text{Var}}(Y)=(a-b)^{2}{\text{Var}}(X)={\frac {(a-b)^{2}}{12}}}$;

• funzione caratteristica

${\displaystyle \phi _{X}(t)=E[e^{itX}]={\frac {e^{it}-1}{it}},\qquad \phi _{Y}(t)=e^{iat}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{ibt}-e^{iat}}{ibt-iat}}}$;

• funzione generatrice dei momenti

${\displaystyle g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {e^{t}-1}{t}},\qquad g_{Y}(t)=e^{at}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}}$;

Dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano (per il più generale Y) i momenti semplici

${\displaystyle \mu _{n}(Y)={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}}$;

siccome la variabile aleatoria centrata ${\displaystyle Y-E[Y]}$ segue una distribuzione uniforme su ${\displaystyle [-{\tfrac {b-a}{2}},{\tfrac {b-a}{2}}]}$, si ricavano immediatamente i momenti centrali di Y

${\displaystyle m_{n}(Y)=\mu _{n}(Y-E[Y])={\begin{cases}{\frac {(b-a)^{n}}{(n+1)2^{n}}}&n=2k\\0&n=2k+1\end{cases}}.}$

In particolare si trovano gli indici di asimmetria e di curtosi

${\displaystyle \gamma _{1}(Y)=0,\qquad \gamma _{2}(Y)=-{\frac {6}{5}}}$.

Infine, l'entropia di Y è

${\displaystyle H(Y)=\log(b-a)}$.

Ogni distribuzione di probabilità univariata (cioè sui numeri reali) è legata alla distribuzione uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1)}$. Se X segue la distribuzione uniforme su ${\displaystyle [0,1]}$ ed F è una qualunque funzione di ripartizione, prendendo la funzione

${\displaystyle F^{-1}(x)=\inf\{y\in \mathbb {R} \colon F(y)\geqslant x\}}$

si può definire una variabile aleatoria

${\displaystyle Y=F^{-1}(X)}$

che ha proprio F come funzione di ripartizione.

Ad esempio, ${\displaystyle Y=-{\tfrac {\log X}{\lambda }}}$ segue la distribuzione esponenziale ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )}$.

In informatica questa proprietà viene chiamata metodo dell'inversione e viene utilizzata per trasformare un generatore "casuale" di campioni per X in un generatore di campioni per Y.

La somma ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ di due variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ segue una distribuzione triangolare simmetrica (distribuzione di Simpson).

Più in generale, la distribuzione di Irwin-Hall descrive la somma ${\displaystyle X_{1}+...+X_{n}}$ di n variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1)}$.

La distribuzione Beta ${\displaystyle \mathrm {B} (1,1)}$ corrisponde alla distribuzione uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1)}$. Inoltre, se X segue questa distribuzione uniforme, allora ${\displaystyle Y=1-{\sqrt[{n}]{X}}}$ segue la distribuzione Beta ${\displaystyle \mathrm {B} (1,n)}$.

Il parallelo della distribuzione continua uniforme tra le distribuzioni discrete è la distribuzione discreta uniforme, definita su un insieme finito S, che attribuisce ad ogni suo sottoinsieme una probabilità di verificarsi pari alla propria cardinalità. (In altri termini è la stessa definizione, con una diversa misura.)

• Distribuzione continua
• Distribuzione discreta uniforme
• Funzione di ripartizione
• Sigma-algebra
• Metodo dell'inversione

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Distribuzione continua uniforme

• (EN) William L. Hosch, uniform distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione continua uniforme, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Distribuzione continua uniforme, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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