Numero di Fanning

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Il fattore di attrito di Fanning (o più semplicemente numero di Fanning) è il gruppo adimensionale dello sforzo di taglio alla parete, e rappresenta il rapporto fra i flussi conduttivo (sforzo di taglio) e convettivo (forze inerziali) di quantità di moto.

Prende il nome da John Thomas Fanning.

È definito come:

${\displaystyle f={\frac {2\tau }{\rho u^{2}}}={\frac {f_{D}}{4}}}$

dove:

• ${\displaystyle \tau }$ è lo sforzo di taglio o tensione deviatorica nel materiale;
• ${\displaystyle u}$ è la velocità di flusso locale del materiale;
• ${\displaystyle \rho }$ è la densità del materiale;
• ${\displaystyle f_{D}}$ è il fattore di attrito di Darcy, ottenibile dal diagramma di Moody.

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Definendo la viscosità, il numero di Fanning può sempre essere riespresso come:

${\displaystyle f={\frac {2||\mu \nabla {\vec {u}}||}{\rho u^{2}}}={\frac {2||\nu \nabla {\vec {u}}||}{u^{2}}}}$

in cui:

• ${\displaystyle \mu }$ è la viscosità del materiale
• ${\displaystyle \nu }$ è la diffusività cinematica del materiale
• ${\displaystyle \nabla }$ è l'operatore nabla

Nel caso della validità della legge di Stokes, la viscosità è costante perciò questa forma è particolarmente conveniente.

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Darcy-Weisbach.

Poiché l'equazione di Navier-Stokes della quantità di moto, definendo il carico idraulico, si può riesprimere in un condotto come una correzione all'equazione di Bernoulli:

${\displaystyle dH={\frac {L}{r}}\mu \nabla u}$

Il numero di Fanning può essere legato alla perdita di carico idraulico:

${\displaystyle \Delta H=f\,{\frac {L}{r}}\,\rho u^{2}}$

dove:

• ${\displaystyle \Delta H}$ è la perdita di carico idraulico;
• ${\displaystyle L}$ è la lunghezza del condotto;
• ${\displaystyle r}$ è il raggio equivalente del condotto.

Il numero di Darcy, detto anche fattore di Blasius, utilizzato più frequentemente in ambito chimico e nella convenzione anglosassone sulle unità di misura, è quattro volte il numero di Fanning:

${\displaystyle F=4f}$,

quindi bisogna prestare attenzione quando ci si riferisce a "fattore di attrito" in quanto si possono intendere ambedue gli adimensionali.

Infine si definisce coefficiente di attrito globale il prodotto del fattore di Blasius per il rapporto lunghezza/diametro equivalente del condotto:

${\displaystyle k=4f{\frac {L}{D}}}$,

L'equazione di Darcy-Weisbach si riesprime quindi in modo più semplice come:

${\displaystyle \Delta H=k\,\,\rho {\frac {u^{2}}{2}}}$

dove ${\displaystyle \Delta H}$ è la perdita di carico idraulico.

Il fattore d'attrito dipende in primo luogo dal numero di Reynolds dalla rugosità, anche se storicamente questa dipendenza è stata spesso espressa con correlazioni implicite rendendo inevitabile l'utilizzo di diagrammi prima dell'avvento dei risolutori numerici di equazioni: tra questi diagrammi vanno citati ad esempio il diagramma di Moody (ottenuto dalla correlazione di Colebrook, implicita) e l'arpa di Nikuradse.

Per un flusso laminare ${\displaystyle (Re<2100)}$ in condotti rispettivamente circolari e quadrati esiste una soluzione analitica (Legge di Poiseuille):

${\displaystyle f_{c}={\frac {16}{Re}}}$, ${\displaystyle f_{q}={\frac {14.227}{Re}}}$

dove ${\displaystyle Re}$ è il numero di Reynolds del flusso.

Blasius propose una correlazione nel 1913 trascurando la rugosità (condotti lisci) ^[1]:

${\displaystyle f=0,079\mathrm {Re} ^{-0.25}}$.

Johann Nikuradse in un articolo del 1932 disse che questo corrisponde a una legge di potenza per il profilo di velocità di flusso.

Mishra e Gupta nel 1979 hanno proposto un addendo per tubi elicoidali, con diametro del condotto ${\displaystyle d}$ e diametro di avvolgimento ${\displaystyle D}$^[2]:

${\displaystyle f=0,079\mathrm {Re} ^{-}{1 \over 4}+0,0075{\sqrt {\frac {d}{D}}}}$,

valido per:

• ${\displaystyle Re_{tr}<Re<10^{5}}$
• ${\displaystyle 6,7<D/d<346,0}$
• ${\displaystyle 0<L/D<25,4}$.

Per il flusso turbolento, le correlazioni si complicano: la prima storicamente è stata la correlazione di Colebrook ^[3], implicita nella relazione:

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-4,0\log _{10}\left({\frac {\frac {R}{d}}{3,7}}+{\frac {1,256}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right)}$

dove ${\displaystyle R}$ è la rugosità del tubo (usare sempre unità di misura omogenee):

• ${\displaystyle R=0,0000547\,m}$ per l'acciaio
• ${\displaystyle R=0,000259\,m}$ per la ghisa
• ${\displaystyle R=0,000122\,m}$ per superfici rivestite
• ${\displaystyle R=0,000152\,m}$ per superfici zincate
• ${\displaystyle R=0,00165\,m}$ per il cemento.

Dalla correlazione di Colebrook si ha la correlazione di Haaland, che ne è un'approssimazione:

${\displaystyle {\frac {1}{\,{\sqrt {f\,}}\,}}=-3{,}6\log \left[\left({R \over \;3{,}7\;D\;}\right)^{\!\!{\,10\, \over 9}}+{\frac {\,6{,}9\,}{\mathrm {Re} }}\right]}$;

se ${\displaystyle 2100<Re<4000}$, si usa impiegare il massimo dei due valori.

Churchill ^[4] ha sviluppato infine una formula valida sia per il moto laminare sia per il turbolento.

${\displaystyle f=2\left(\left({\frac {8}{Re}}\right)^{12}+\left(A+B\right)^{-1,5}\right)^{\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle A=\left(-2,457\ln \left(\left({\frac {7}{Re}}\right)^{0,9}+0,27{\frac {e}{D}}\right)\right)^{16}}$

${\displaystyle B=\left({\frac {37530}{Re}}\right)^{16}}$

• Coefficiente di attrito
• Numero di Colburn
• Numero di Brinkman
• Numero di Stokes

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